10.2.6 Обратные и инверсные логические функции а) Обратные функции

При рассмотрении логических функций вполне естественно возникает вопрос: А есть ли у них обратные функции?

Для ответа на этот вопрос рассмотрим таблицу истинности одной из функций двух переменных как таблицу, устанавливающую соответствие.

Напомним определение из теории множеств:

для функции f: А→В обратная функция существует тогда и только тогда, когда f является взаимно однозначным соответствием между своими областями определения и значений.

Таблица истинности (табл. 10.7) функции двух переменных f₈ =abустанавливает взаимосвязь между элементами множества двоичных наборов А={00,01,10,11} и множества значений функцииВ= {0, 1}.

Прямое и обратное соответствия, заданные табл. 10.7, показаны на рис. 10.1.

Рисунок 10.1 – Графики соответствий, заданных табл. 7

Прямое соответствие (рис.10.1,а)

– полностью определено (используются все наборы множества А),

– сюръективно (все элементы множества Вучаствуют в соответствии),

– функционально, так как однозначно.

Обратное соответствие (рис.10.1,б)

– полностью определено,

– сюръективно,

– не однозначно, следовательно, не функционально.

Обратное соответствие не однозначно, следовательно, не функционально, а поэтому логическая функция двух переменных f₈ =abне имеет обратной функции в таком понимании, как это было определено в Теории множеств.

Аналогичное заключение можно сделать и для других логических функций, существенно зависящих от двух переменных. Более того, аналогичное заключение можно сделать и для логических функций nпеременных приn>2, так как элементов в множествеВтолько 2, а количество элементов в множествеАравно его мощности|А| = 2ⁿ, поэтому взаимно однозначного соответствия не получится.

Однако понятие обратной функциив булевой алгебре применяется. Обратные функции имеют логические функции, существенно зависящие от одной переменной (подтверждение этого – таблицы истинности функций одной переменной, приведенные в табл. 1). Кроме того, в булевой алгебре можно создать систему логических функций, которые имеют обратные функции. Пример этого – шифратор (CD) и дешифратор (DC), таблицы истинности которых показаны в табл. 10.11.

Шифратор – это узел, имеющий mвходов иn=выходов, где ]x[ – ближайшее большее целое. Он выполняет преобразование единичных сигналов на отдельных входах в двоичные наборы на выходах. Например, приm= 4,n= 2 (входыy_i, выходыa,b) значения выходов определяются по формулам

которые представляют систему прямых функций.

Таблица 10.11

№	Входы CD				Выходы CD Входы DC		Выходы DC
	y0	y1	y2	y3	a	b	y0	y1	y2	y3
0	1	0	0	0	0	0	1	0	0	0
1	0	1	0	0	0	1	0	1	0	0
2	0	0	1	0	1	0	0	0	1	0
3	0	0	0	1	1	1	0	0	0	1

(Как получить формулу по таблице истинности см. Лекцию № 11, а как выполнить минимизацию частично определенной функции см. Лекцию № 13.)

Дешифратор (полный) – это узел, который имеет nвходов и 2ⁿвыходов и преобразует каждый входной набор в активный сигнал на одном из выходов (например, на одном выходе 1, а на остальных выходах – 0). Так приn= 2 (входы a,b) значения выходовy_iопределяются следующими формулами

Назовем эти функции системой обратных функций.

Если рассмотреть работу шифратора и дешифратора с точки зрения теории множеств, то получается следующее.

Шифратор производит преобразование наборов множества в наборы множестваА= {00, 01, 10, 11}, при этом каждому набору изYсоответствует один набор из множестваA.

Дешифратор выполняет функции, обратные по отношению к функциям, выполняемым шифратором, т. е. преобразует множество входных наборов из множества А= {00, 01, 10, 11}, в множество выходных наборов , причем каждому набору множестваАсоответствует один набор из множестваY.

Таким образом, взаимная связь между наборами множеств Y иAпредставляет взаимно однозначное соответствие, а это говорит о том, что мы имеем здесь дело с обратными функциями.

Замечание. Формирование системы прямых и системы обратных функций в шифраторе и дешифраторе выполняется с помощью пары функций f₁₄ – f₈, характерной особенностью которых является наличие одного нуля у одной из них и одной единицы у другой в графе функции таблицы истинности. Такими свойствами обладают также пары функцийf₇–f₁,f₁₃ – f₂, f₁₁ – f₄, приведенные в табл. 9.2, поэтому подобные системы функций можно создать и на этих функциях.