Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет приборостроения и информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

численные методы

.docx

Скачиваний:

164

Добавлен:

09.04.2015

Размер:

9.71 Mб

Скачать

☆

1.Что такое Численные методы?

Численные методы – математическая дисциплина, изучающая методы приближённого решения математических задач, сводящиеся к выполнению конечного числа элементарных операций над числами. Численные методы сводят решение математических задач, которые могут быть проведены как в ручную, так и с помощью ЭВМ

2.Перечислите типичные задачи численных методов.

1)Решение уравнений

2)Численное интегрирование

3)Решение дифференциальных уравнений

3.Что такое абсолютная и относительная погрешность вычислений.

Если - точное значение некоторой величины, а - известное приближение к нему, то абсолютной погрешностью приближения называют обычно некоторую величину , про которую известно, что она удовлетворяет неравенству:

Относительной погрешностью называют некоторую величину , про которую известно, что она удовлетворяет неравенству:

Относительную погрешность часто выражают в процентах. Она дает более точное представление о величине ошибки, содержащейся в некоторой величине.

4. Что такое интерполяция функции?

Интерполяцией функции f(x) называется замена ее функцией F(x) определенного класса, совпадающей с f(x) в точках xk. При этом точки xk называются узлами интерполяции.

Геометрически интерполяция заключается в проведении графика интерполирующей функции F(x) через узловую точку: (x0, F(x0)), (x1, F(x1)),…, (xn, F(xn))

5. Прямой метод интерполяции.

Пусть в точка х0, х1 известны значения функций у(х): у0, у1, .., уn. Требуется построить многочлен F(х) такой что

F(x0) = y0

F(x1) = y1

F(xn) = yn Степень многочлена F(x) не должна быть выше n

F(x) имеет вид:

F(x) = a0 + a1x + a2x^2 +…+ anx^n

a0 + a1x0 + a2x0^2 +…+ anx0^n = y0

a0 + a1x1 + a2x1^2 +…+ anx1^n = y1

a0 + a1xn + a2xn^2 +…+ anxn^n = yn

неизвестный а1,..,an

Получим систему из n-линейных уравнений с n-неизвестными.

Такая система имеет единственное решение, т.е. коэффициенты многочлена а0, а1, …, an могут быть найдены единственным образом.

6. Понятие об интерполяционном многочлене Лагранжа. Достоинства и недостатки.

Основная идея этого метода состоит в том, чтобы, прежде всего найти многочлен, который принимает значение 1 в одной узловой точке и 0 во всех других. Он имеет вид:

Ln(х) =

Т. к. при i = j, то – корень многочлена . Тогда делится на (х - ) при i = j. Таким образом многочлен может быть = Const *

Найдём const в этом многочлене:

, тогда = 1

Const =

= подставим в Ln(х)

Ln(х) = или

Ln(х) = *

Достоинство – метод наиболее прост в понимании и организации вычислительного процесса, относится к числу итерационных методов и имеет наибольшую точность интерполяции, использование многочленов невысокого порядка и вследствие этого малым накоплением погрешностей в процессе вычислений.

Недостаток метода – при увеличении числа узлов и соответственно степени интерполяционный многочлен Лагранжа требуется строить заново, медленная скорость сходимости, что приводит к значительным затратам машинного времени. 7. Интерполяционный многочлен Ньютона. Достоинства и недостатки.

Можно построить интерполяционный многочлен степени n в виде

Многочлен должен проходить через узлы интерполирования, т.е.

= y_i = f(x_i) (i = 1,2, ………..n).

Причём

х = х₀; = y₀= а₀. Отсюда а₀= y_0
. х = х₁; = y₀+ а₁h, где

Аналогично можно получить значения и остальных коэффициентов многочлена

; ………………….. , ,…………. - конечные разности до n-ого порядка. В общем случае конечные разности можно представить (i = 1,2, ………..n-1). = (i = 1,2, ………..n-1) и разность порядка к ……………………………………. (i = 1,2, ………..n-1).

Если в интерполяционный многочлен подставить значения коэффициентов, то будет получен первый интерполяционный многочлен Ньютона

Достоинство: она удобна тем, что число используемых узлов может быть легко увеличено или уменьшено без повторения всего вычисления.

Недостаток: К недостатку формулы Ньютона можно отнести то, что при вычислениях в таблице с постоянным шагом при увеличении количества узлов не всегда удается добиться повышения точности вычислений.

8. Что такое конечные разности?

Конечная разность — математический термин, широко применяющийся в методах вычисления при интерполировании.

Рассмотрим интерполяционную задачу для функции :

где - шаг интерполяции

Конечной разностью 1-го порядка называют разность между двумя соседними значениями в узлах интерполяции, то есть

Конечной разностью 2-го порядка называют разность между двумя соседними конечными разностями 1-го порядка, то есть

Конечной разностью порядка (для ) называют разность между двумя соседними конечными разностями порядка , то есть

9. Понятие об интерполировании сплайнами.

Spline – планка, рейка.

Сплайн – лекало, гибкая металлическая линейка.

Сплайн - функция, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых сплайн совпадает с некоторым алгебраическим многочленом. Т.о. сплайн – это функция, собранная из различных функций одного вида.

Чаще всего используются кубические сплайны. В сплайне фрагменты стыкуются гладко.

() = ()() = ()

() = ()

() = () – это условие совпадения кусков в граничащих точках

10. Что такое аппроксимация?

Аппроксимация (от лат. approximo — приближаюсь), замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны).

11. Два этапа численного решения уравнений: отделение и уточнение корней.

12. Метод половинного деления или дихотомии.

Пусть дано уравнение f(x) = 0, имеющее на отрезке [a,b] один корень. В качестве начального приближения корня х0 рассмотрим середину отрезка [a,b] : х0 = (b + a) / 2