Способы задания функций

1. Наиболее простой способ задания функций – это таблицы (табл. 2.2):

Таблица 2.2

x	x1	x2	...	xn
f(x)	f(x1)	f(x2)	...	f(xn)

Пример 2.27.

Бросается игральная кость. Пусть k – число выпавших очков, а p(k) – вероятность того, что при случайном бросании кости выпадет k очков, k = 1, 2, ..., 6.

В этом случае функция p(k) может быть задана следующей таблицей (табл. 2.3):

Таблица 2.3

k	1	2	3	4	5	6
p(k)	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Однако, таким образом могут быть заданы функции, определенные на конечных множествах.

Если функция, определенная на бесконечном множестве (отрезке, интервале), задана в конечном числе точек, например, в виде тригонометрических таблиц, таблиц специальных функций и т.п., то для вычисления значений функций в промежуточных точках пользуются правилами интерполяции.

2. Функция может быть задана в виде формулы, описывающей функцию как композицию других функций. Формула задает последовательность вычисления функции.

Пример 2.28.

f(x) = sin(x + x) является композицией следующих функций:

g(y) = y; h(u, v) = u + v; w(z) = sinz.

3. Функция может быть задана в виде рекурсивной процедуры. Рекурсивная процедура задает функцию, определенную на множестве натуральных чисел, т. е. f(n), n = 1, 2,... следующим образом: а) задается значение f(1) (или f(0)); б) значение f(n + 1) определяется через композицию f(n) и других известных функций. Простейшим примером рекурсивной процедуры является вычисление n!: а) 0! = 1; б) (n + 1)! = n!(n + 1). Многие процедуры численных методов являются рекурсивными процедурами.

4. Возможны способы задания функции, не содержащие способа вычисления функции, а только описывающие ее. Например:

f_M(x) =

Функция f_M(x) – характеристическая функция множества M.

Итак, по смыслу нашего определения, задать функцию f – значит задать отображение X  Y, т.е. определить множество XY, поэтому вопрос сводится к заданию некоторого множества. Однако можно определить понятие функции, не используя языка теории множеств, а именно: функция считается заданной, если задана вычислительная процедура, которая по заданному значению аргумента находит соответствующее значение функции. Функция, определенная таким образом, называется вычислимой.

Пример 2.29.

Процедура определения чисел Фибоначчи, задается соотношением

F_n = F_n-1 + F_n-2 (n ³ 2) (2.1)

с начальными значениями F₀ = 1, F₁ = 1.

Формула (2.1) вместе с начальными значениями определяет следующий ряд чисел Фибоначчи:

n	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
Fn	1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 …

Вычислительная процедура определения значения функции по заданному значению аргумента есть не что иное, как алгоритм.