![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Устойчивость многомерных стационарных систем
- •Устойчивость сау с переменными коэффициентами
- •Точность сау на установившемся режиме
- •Коэффициенты ошибок
- •Повышение точности сау
- •1. Увеличение коэффициента усиления разомкнутой системы
- •2. Повышение порядка астатизма
- •Улучшение качества процессов регулирования
- •Синтез сау
- •Элементы теории нелинейных сау
- •Точные методы исследования нелинейных сау
- •1.Неоднозначная нелинейная характеристика
- •2.Система с релейной характеристикой
- •3.Нелинейность типа реле
- •Абсолютная устойчивость процессов
- •Приближенные методы исследования нелинейных сау
- •Исследование сау на фазовой плоскости
Синтез сау
До сих пор мы в основном изучали задачу анализа САУ, когда математическая модель замкнутой САУ считалась заданной, и требовалось определить качество её работы: устойчивость, точность воспроизведения входного сигнала и т.п.
Важной, и более сложной, является задача синтеза, когда заданными считаются математическая модель управляемого объекта ( и может быть измерительного и исполнительного устройств). Требуется выбрать структуру САУ, закон управления и числовые значения параметров регулятора, определяющие желаемое качество САУ.
С задачами синтеза мы уже встречались. Синтез САУ можно проводить, используя критерии устойчивости, Д-разбиение, методы корневых годографов.
Синтез одномерных одноконтурных САУ с единичной ООС с помощью ЛАФЧХ разомкнутой системы
Этот метод использует тесную связь между переходной функцией замкнутой САУ при ступенчатом воздействии и вещественной частью частотной характеристики замкнутой САУ.
,
здесь
.
(1)
.
Т.о. по частотным характеристикам разомкнутой системы можно определить частотные характеристики замкнутой системы и наоборот. Имеются номограммы, связывающие эти частотные характеристики.
По
мы можем оценить переходный процесс
(см. (1)).Таким образом, зная
,
мы можем оценить переходный процесс в
системе.
Решать задачу синтеза САУ по частотным характеристикам удобнее, когда частотные характеристики построены в логарифмическом масштабе.
В логарифмическом
масштабе по оси ординат у
откладывается
вдб.
увеличение этого
соотношения в 10 раз соответствует
увеличению
По оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе.
Декада – изменение частоты в 10 раз.
Главное преимущество построения частотных характеристик в логарифмическом масштабе состоит в том, что их можно строить приближенно, практически без вычислений.
Возьмем инерционное
звено . Его
передаточная функция
,
-АЧХ.
Частота, где
,
т.е.
- частотасопряжения.
При приближенном построении ЛАЧХ:
1)
в
пренебрегаем
и
,
а
дБ
2)
в
пренебрегаем 1 и
и в логарифмическом масштабе
Определим наклон
при
:
.
Наклон==
- 20дб/дек.
Следовательно,
строя АЧХ в логарифмическом масштабе,
можно убывающую часть характеристики
заменить прямой с наклоном -
20дб/дек.
Наибольшая погрешность будет в точке
изгиба (
).
Интегрирующее звено.
,
,
,
при
.
Наклон:
Наклон=-20 дб/дек
Аналогично можно показать, что у дифференцирующего звена наклон будет + 20 дб/дек.
Рассмотрим сначала на примере принцип построения приближенной ЛАЧХ (ФЧХ рассчитываются точно по формулам).
Приближенность
построения ЛАЧХ заключается в том, что
в частотной характеристике в членах
:
при
пренебрегают членом
и звено рассматривают как усилительное
;
при
пренебрегают 1 и рассматривают их как интегрирующее звено с частотной характеристикой
, наклон характеристики которого– 20 дб/дек и при
величина амплитуды равна20lgK.
Частота , где
-
называетсячастотой
сопряжения.
Определим частоты
сопряжения, где
(
)
Во что превратится
с учетом сделанных предположений:
.
.
Откладываем на оси частот частоты сопряжения.
Построение начинаем
с интегрирующего звена: на частоте
откладываем20lgK=20lg100=40дб
и проводим линию с наклоном -20дб/дек.
На частоте
«подсоединяем» еще одно интегрирующее
звено – наклон стал-40дб/дек.
На частоте
«подсоединяются» два дифференцирующих
звена. У одного дифференцирующего звена
наклон+20дб/дек,
у двух интегрирующих звеньев наклон
будет +40дб/дек,
следовательно,
результирующий наклон при
будет
-40дб/дек+40дб/дек=0 дб/дек.
На частоте
«подсоединится еще одно интегрирующее
звено и наклон станет
- 20 дб/дек.
Фазо-частотная характеристика рассчитывается.
|
|
|
1зв 2зв |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
С помощью ЛАЧХ и ФЧХ нетрудно установить устойчивость замкнутой системы.
Согласно критерию устойчивости Найквиста, замкнутая САУ устойчива, если АФЧХ разомкнутой системы имеет вид (астатическая система):
-
запас устойчивости по фазе. Амплитуда
равна 1, а до
не хватает
.
-
запас устойчивости по амплитуде.
,
а до равенства амплитуды 1 не хватает
.
Теперь перенесем всё это на ЛАФЧХ.
амплитуда равна 1 и поэтому
- запас устойчивости по фазе.
Когда фаза равна
,
то
- запас устойчивости по амплитуде.
Для устойчивости
САУ необходимо, чтобы на
Синтез САУ с помощью ЛАЧХ
проводится следующим образом:
САУ представляют
В
входят объект
и известные элементы регулятора,
например, измерительные, исполнительные
устройства.
-корректирующее
устройство, котороенадо
определить в процессе синтеза.
Тогда передаточная функция разомкнутой системы
Здесь
-
передаточная функция САУ, динамика
которой удовлетворяет требованиям,
предъявляемым к проектируемой системе.
Тогда в логарифмическом масштабе
.
Для минимально-фазовых САУ вид ЛАЧХ полностью определяет переходный процесс и не надо рассматривать фазо-частотную характеристику.
Минимально-фазовые звенья (системы) – такие, у которых корни числителя и знаменателя расположены в левой полуплоскости. Таким образом, передаточная функция минимально-фазовой системы не должна иметь нулей и полюсов в левой полуплоскости.
можно записать передаточную функцию
корректирующего звена. В данном случае
она будет иметь вид:
.
В литературе
приводятся таблицы, связывающие вид
с
и с соответствующими
схемами корректирующих устройств,
реализующих эти
.
Приведенная выше
может быть реализована в виде следующей
корректирующей цепочки:
Здесь
и
мы знаем.
По графику
определяем
и
,
.
- отсюда находим
.
По графику
определяем
.
=
- отсюда определяем
.
=
- отсюда определяем
.
-
отсюда определяем
.
отсюда
определяем
.
- отсюда определяем
.
Определив параметры корректирующего звена, вводим его в систему и моделируем САУ, получаем переходный процесс. Если он не устраивает – меняем параметры звена.
Требования к
.
Желаемая ЛАЧХ разомкнутой системы строится из общих требований к системе:
точность ( определяет коэффициент усиления),
порядок астатизма,
время переходного процесса,
перерегулирование.
должно пересекать ось частот в точке
,
обеспечивающей заданное время переходного
процесса
.
А можно по другому:
,
-
находится из номограмм, определяющих
зависимость
,
здесь
-
перерегулирование.
Например,
2. Для того, чтобы
САУ была устойчивой,
должна пересекать ось частот с наклоном- 20 дб/дек.
3.Для обеспечения
заданного
4.Среднечастотную
часть характеристики надо делать как
можно шире. Чем больше диапазон
,
тем ближе процесс к экспоненциальному.
Среднечастотная часть в основном и определяет качество переходного процесса.
Низкочастотная часть определяет точность процесса управления.
Существует и другой способ определения конечных точек центрального отрезка:
Запас устойчивости
по фазе в точке
при
,
определяемый по ЛФЧХ, должен быть не
меньше
Запас устойчивости
по модулю (по амплитуде) в точке L2
выбирается в зависимости от перерегулирования
:
Высокочастотная часть, чтобы не усложнять корректирующее устройство, выбирают аналогичной исходной ЛАЧХ.
После построения
надо проверить запас устойчивости по
фазе. (на
)
К сожалению, этот метод синтеза не гарантирует требуемого качества переходного процесса.
Порядок расчетов при синтезе САУ с последовательным
корректирующим устройством
Строится ЛАЧХ неизменной части САУ (без корректирующего уст-
ройства)
.
2.По заданным
требованиям к качеству строится желаемая
ЛАЧХ
.
3. По
строится соответствующая ЛФЧХ.
4. Определяются запасы устойчивости по амплитуде и фазе.
5. Путем вычитания
из
находят ЛАЧХ корректирующего устройства
.
6.По
выбирают его технический аналог.
7. Если технический
аналог отличается, надо скорректировать
с учетом технического аналога.
Если получен хороший результат, то решение задачи синтеза заканчивается. Если результат не удовлетворяет выбирается другой аналог.
Синтез САУ методом корневых годографов
Качество проектируемой САУ с точки зрения быстродействия и запаса устойчивости может характеризоваться расположением корней числителя и знаменателя передаточной функции замкнутой системы.
Зная корни, можно изобразить их расположение на комплексной плоскости. Корни могут быть определены расчетами с использованием стандартных программ.
Чем больше
-
степень устойчивости, и чем меньше
- степень колебательности, тем лучше
качество САУ.
При плавном изменении значения какого-либо параметра корни будут перемещаться на плоскости корней, прочерчивая некоторую кривую, которая называется траекторией корней или корневым годографом. Построив траектории всех корней , можно выбрать такое значение варьируемых параметров, которые соответствуют наилучшему расположению корней.
Пусть имеется передаточная функция замкнутой системы
.
Коэффициенты
числителя и знаменателя определенным
образом выражены через параметры
объекта, регулятора, корректирующих
устройств. Если нужно выбрать величину
какого-либо параметра, то необходимо
принять некоторые постоянные значения
для всех остальных параметров, а для
искомого параметра задавать различные
числовые значения. Для каждого
задаваемого значения варьируемого
параметра необходимо вычислять значения
корней числителя и знаменателя
и строить траектории корней, по которым
выбирают то значение параметра, которое
обеспечивает наилучшее расположение
корней.
Синтез с использованием стандартных переходных процессов
(метод стандартных коэффициентов)
Частный способ использования этого метода – диаграмма Вышнеградского для систем третьего порядка.
Стандартные
переходные процессы строятся в
нормированном виде при единичном входном
воздействии по безразмерному времени
, где
- среднегеометрический корень
характеристического уравнения,
определяющего быстродействие системы
( не степень устойчивости).
.
Пусть все корни вещественные и равные.
Тогда характеристическое уравнение
(1)
Здесь
- коэффициенты бинома Ньютона или
биноминальные коэффициенты, которые
определяются из треугольника Паскаля.
Коэффициенты
имеют вид:
Порядок уравнения |
Коэффициенты |
n=1 |
1 |
n=2 |
1,2,3 |
n=3 |
1,3,3,1 |
n=4 |
1,4,6,4,1 |
n=5 |
1,5,10,10,5,1 |
Например.
n=5,
заданное tпп=3.По
графику (ниже) находим, что
.
Тогда
Тогда передаточная функция, обеспечивающая tпп=3 будет иметь вид:
Как проводится синтез с использованием этого метода:
Выбирается приемлемый вид стандартного переходного процесса.
По нему определяется
, из которого находится
По
,
n и коэффициентам бинома Ньютона ( из таблицы) находят коэффициенты передаточной функции.
Введением корректирующих устройств и выбором других параметров регулятора добиваются, чтобы коэффициенты передаточной функции системы равнялись коэффициентам
Синтез линейных САУ путем выделения границ устойчивости и границ заданной степени устойчивости
Выделив методом Д-разбиения область устойчивости, мы должны выбирать рабочую точку (определяемую параметрами системы) внутри этой области. Однако разным точкам будет соответствовать разное распределение корней характеристического уравнения, а следовательно, и разный характер переходного процесса. Хотелось бы иметь хороший переходный процесс.
Известно, что длительность переходного процесса определяется ближайшим к мнимой оси корнем.
.
Если нам задано требуемое время
переходного процесса
,
то мы можем определить
.Если корни будут
расположены левее
, то длительность
переходного процесса будет меньше
заданного
.
С помощью метода
Д-разбиения
можно отобразить на комплексную плоскость
не только мнимую ось, но и границу
заданной степени устойчивости
Выбирая рабочую
точку внутри области ,будем иметь
длительность переходного процесса ,
меньше заданного
.
Для построения границы заданной степени устойчивости в характеристическое уравнение
(1)
надо подставить
Тогда
(2)
Преобразуем (2):
(3)
В уравнении (3)
коэффициенты
являются функциями
и
.
Если в уравнении (3) параметры, в плоскости которых хотим построить границу заданной степени устойчивости, входят в характеристическое уравнение линейно независимо, то к уравнению (3) можно применить рассмотренный раньше метод Д- разбиения. Выделенная граница будет линией заданной степени устойчивости.