4.4. Стандартные функции

Они вам известны: это арифметические, алгебраические и тригонометрические функции. Кроме того, есть функция конца строки: Eoln-endofline.

4.5. Итерация и рекурсия

Итерация(от лат.повторение) - повторение, применение какой – либо математической.

Пример: Вычислить сумму ряда:

S=a1+a2+….+an

S1=a1

S2=a1+a2

S3=a1+a2+a3

S4=a1+a2+a3+a4

…………………

S=a1+a2+…+an

Рекурсия(от лат.возвращение) - вычисление последующего значения ряда через предыдущее. Последовательность, в которой соседние значения связаны формулой, называется рекурсивной.

Пример: Арифметическая прогрессия:a1,a2=a1+d,a3=a2+d,an=an-1+d

Пример.

Begin

If (n=0) or (n=1) then Factorial:=1

Else begin F:=1

For i:=2 to n do

F:=f*i;

Factorial:=f;

End;

End;

Begin Writeln (‘Введите N’);

Readln (N);

Writeln (‘факториал=’,Fact);

End.

Пример.

Program Rekursion;

Var fact:real;

N:integer;

Function Factorial (N:integer):real;

Begin

If (n=0) or (N=1) then factorial:=1

Else factorial:=factorial (N-1)*n;

End;

Begin

writeln (‘Введите N’);

Readln (N);

Fact:=factorial (N);

Writeln (‘факториал=’,fact);

End.

Здесь первый вызов функции происходит в основной программе, а затем, начинается рекурсивный вызов внутри функции.

В языке программирования Паскаль есть возможность обращения процедуры или функции к самой себе. При этом циклическую часть программы можно составить без операторов цикла. Способ обращения процедуры или функции к самой себе называется рекурсией. С помощью рекурсии удобно представлять те задачи, которые сводятся к подзадачам того же типа, но меньшей размерности.

Вычисление факториала можно представить опять через факториал.

N!=n(n-1)!-рекурсивная формула.

Представление факториала в виде последовательности операций умножения – это итерационный процесс. n!= 1*2*3…n-итерационная формула. Итерация программируется с помощью циклов.

Пример: Вычисление факториала.

ProgramIteracion;

Var fact: real;

N:integer;

Function factorial (n: integer):real;

Var f:real;

I: integer;

Пример. В 13 веке итальянский математик Фибоначчи сформулировал задачу: ”Некто поместил пару кроликов в некое место, огороженное со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится в течении года, если через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рожают со второго месяца после своего рождения.

ProgramKrolik;

Varkr:integer; (*число кроликов*)

N:Integer; (*число месяцев*)

Function fib(n:integer):integer;

Begin

If (n=1) or (n=2) then fib:=1

Else fib:=fib(n-1)+fib(n-2)

End;

Begin

Writeln(‘ввести N’);

Readln (N);

Kr:=fib (N); (*вызов ф-и*)

Writeln (kr:5);

End.

4.6. Побочный эффект рекурсии

В теле подпрограммы известны, то есть доступны все объекты, описанные в объемлющем блоке, в том числе и имя самой подпрограммы. Внутри тела подпрограммы возможен вызов самой подпрограммы. Параметры и функции использующие вызовы “самих себя“, называются рекурсивными. Допустима также косвенная рекурсия, при которой параметр А вызывает параметр В, а тот, в свою очередь, вызывает С, который вызывает первоначальный параметр А.

Рекурсия достаточно широко применяется в программировании, что основано на рекурсивной природе многих математических алгоритмов. В языке программирования Паскаль нет никаких ограничений на рекурсивные вызовы подпрограмм, необходимо только понимать, что каждый очередной рекурсивный вызов приводит к образованию новой копии локальный объектов подпрограммы и все эти копии, соответствующие цепочке активизированных и не активизированных рекурсивных вызовов, существующих независимо друг от друга.

При выполнении функций возникает один неожиданный эффект, причиной которого является изменение значений нелокальных переменных в теле функции.

Если в некоторой функции имеются конструкции, например, операторы присваивания, изменяющие значения переменных, описанных в объемлющих блоках, то может возникнуть ситуация, при которой значения выражения, использующего вызов такой функции, зависит от порядка следования операторов, что является потенциальным источником ошибок и поэтому крайне нежелательно. Описанная ситуация называется побочным эффектом рекурсии.

Пример:

ProgramSideEffect;

Var a,z :integer;

Function change (x: integer): integer;

Begin

Z:=z-x; {изменяем значение нелокальной переменной}

Change:= sqr (x)

End;

Begin

Z:=10; a:=change (z); writeln(a,z);

Z:=10; a:=change (10)*change (z);

Writeln(a,z);

Z:=10; a:=change (z) * change(10);

Writeln(a,z)

End.

Выполнение этой программы приводит к следующему результату на дисплее:

100 0

10000 -10

0 0

Т.е. два последних присваивания переменной а дают различный результат, хотя правила вычисления выражений предлагают равноправные сомножители.

Следует всячески избегать такой зависимости функции от глобальных по отношению к ней переменных. Заметим, что современные языки, например, Adaсодержит прямые запреты на подобные действия.