матан

1. .

2. .

Нахождение F (x) по f (x): .

Пример 32.3

Найти F (x), если плотность распределения имеет вид

:.

Решение..

33.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Для дискретной случайной величины закон распределения которой задается таблицей

X	x1	x2	x3	x4	…	xn
P	p1	p2	p3	p4	…	pn

математическое ожидание определяется следующим образом (см. квант 26):.Для непрерывной случайной величины попробуем ввести аналогичное понятие. Пусть все возможные значения случайной величины Xпринадлежат отрезку [a, b]. Разобьем всю область значений, которые может принимать непрерывная случайная величина X на отдельные отрезки  и выберем внутри каждого отрезка точку . Сумма произведений различных значений  на вероятность попадания в интервал  есть . Переходя к пределу при стремлении к нулю величины максимального интервала  получим определенный интеграл .Определение. Математическим ожиданием случайной величины X, все возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b], называют определенный интеграл:.Если возможные значения случайной величины X принадлежат всей числовой оси, то:.

При этом предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, что означает существование интеграла .

Пример 33.1Вычислить математическое ожидание случайной величины, плотность распределения которой имеет вид: .Решение.  .

Пример 33.2Вычислить математическое ожидание случайной величины, плотность распределения которой имеет вид:

 .Решение

.

Дисперсия непрерывной случайной величины

По аналогии с дискретной случайной величиной, дисперсия которой определяется выражением  , введем понятие дисперсии для непрерывной случайной величины.

Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата разности между этой случайной величиной и ее математическим ожиданием: .Воспользовавшись формулой для математического ожидания непрерывной случайной величины, возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b] (см. квант 34) получим: .Если возможные значения принадлежат всей числовой оси, то: .

Из определения для дисперсии непрерывной случайной величины можно получить формулу, аналогичную той, что справедлива длядисперсии дискретной случайной величины: ,

а для дисперсии случайной величины, возможные значения которой принадлежат всей оси, получим: .

Среднеквадратичное отклонение для непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной случайной величины: .

Пример 34.1Вычислить дисперсию и среднеквадратичное отклонение случайной величины, плотность распределения которой имеет вид: .

Решение.  ..