Перевод правильной десятичной дроби в другую систему счисления

Правильная десятичная дробь переводится в систему счисления q умножением ее на q и последовательным умножением дробной части получаемого результата на q. Умножение продолжается, пока не будет достигнута заданная точность или дробная часть в результате очередного произведения не станет равной нулю.

Предельная погрешность ∆ представления дроби k знаками в системе счисления с основанием q определяется по формуле:

∆ = q^-(k+1)/2 2.2

Пример. Перевести десятичную дробь 0,36 в двоичную систему счисления. Решение:

0,	36 Х 2
0	72 Х 2
1	44 Х 2
0	88 Х 2
1	76 Х 2
1	52

Ответ: 0,36₁₀ = 0,01011₂ Предельная погрешность ∆ = 2^-7

Двоичная арифметика

Арифметические действия с числами в любой позиционной системе аналогичны. В частности, для двоичной системы арифметические правила, учитывая объем двоичного алфавита, имеют вид:

- сложение: 0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1; 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 10

- вычитание : 0 – 0 = 0; 1 – 0 = 1; 10 – 1 = 1; 100 – 1 = 11; 1000 – 1 = 111 и т. д.

- умножение: 0 * 0 = 0; 1 * 0 = 0; 0 * 1 = 0; 1 * 1 = 1.

Примеры: 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0

+ 1 0 1 0 - 1 0 1 0 х 1 0 1 0 - 1 0 1 0 1 0, 1

1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0

1 1 0 0 1 - 1 0 1 0

1 1 1 1 1 0 1 0 0

Представление чисел в компьютере Целые числа без знака

Целые числа без знака обычно занимают в компьютере один, два или четыре байта

Таблица 2.1

Формат числа в байтах	Количество двоичных разрядов числа	Диапазон чисел
1	8	0 ÷ 255
2	16	0 ÷ 65 535
4	32	0 ÷ 4 294 967 295

Целые числа со знаком

Целые числа со знаком также занимают один, два или четыре байта, при этом самый левый разряд отведен для кода знака числа: «0» - положительное число, «1» - отрицательное число. Поэтому разрядность и диапазон значений этих чисел меньше указанных в табл. 2.1.

Таблица 2.2

Формат числа в байтах	Количество двоичных разрядов числа	Диапазон чисел
1	7	- 128 ÷ - 127
2	15	- 32 768 ÷ 32 767
4	31	- 2 147 483 648 ÷ 2 147 483 647

В компьютере применяется три формы кодов записи целых чисел со знаком: прямой код, обратный код и дополнительный код.

Положительное число имеет одинаковые прямой, обратный и дополнительный коды – двоичное число и цифра 0 в разряде для знака.

Пример. Запись числа 1100101 в однобайтовом формате:

0

1

1

0

0

1

0

1

знак числа «+»

Отрицательное число имеет разные прямой, обратный и дополнительный коды.

Прямой код отрицательного числа содержит цифру 1 (знак числа ‘-‘) и абсолютную величину двоичного числа.

Обратный код отрицательного числа содержит цифру 1 и инвертированные (замененные на 1 нули и замененные на 0 единицы) цифры прямого кода.

Дополнительный код - это обратный код с прибавленной единицей в младшем разряде.

Пример. Записать число – 11101 в прямом, обратном и дополнительном кодах однобайтового формата. Прямой код:

1

0

1

1

1

1

0

1

Обратный код:

1

1

0

0

0

0

1

0

Дополнительный код:

1

1

0

0

0

0

1

1

Представление в компьютере чисел в обратном и дополнительном кодах широко применяется, так как позволяет выполнять арифметические действия с числами только при помощи операций сложения и сдвига регистра. Это дает возможность упростить устройство центрального процессора компьютера.

Обычно отрицательные числа при вводе в компьютер автоматически преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код и в таком виде хранятся, перемещаются и участвуют в операциях. При выводе таких чисел из компьютера происходит обратное преобразование в отрицательные десятичные числа.