Перевод чисел в десятичную систему счисления

Введем следующие обозначений номеров цифр (ц) в числе любой системы счисления, содержащем m целых разрядов до запятой и n дробных разрядов после запятой[:

число:	ц	…	ц	ц	ц	ц	,	ц	ц	…	ц
№ цифры в числе:	m-1		3	2	1	0		-1	-2	…	-n

С учетом введенных обозначений число можно записать в виде:

ц_m-1…ц₃ц₂ц₁ц₀,ц_-1ц_-2…ц_-n

Число любой системы счисления может быть представлено в виде разложения по степеням основания р системы счисления, в которой записано это число:

ц_m-1р^m-1 +…+ ц₃р³ + ц₂р² + ц₁р¹ + ц₀р⁰ + ц_-1р^-1 + ц_-2р^-2 +…+ ц_-nр^-n 2.1

Сумма членов этого многочлена дает число в десятичной системе сложения.

Например, одно и то же число, записанное в разных системах счисления, А₍₁₀₎=535,5; А₍₂₎=1000010111,1; А₍₈₎=1027,4; А₍₁₆₎=217,8 может быть представлено в виде разложения по степеням основания, сумма которого равна десятичному числу 535,5:

р = 10 : 510² + 310¹ + 510⁰ + 510^-1= 500 + 30 + 5 + 5(1/10) = 535,5

р = 2 : 12⁹ + 02⁸ + 02⁷ + 02⁶ + 02⁵ + 12⁴ + 02³ + 12² + 12¹ + 12⁰ + 12^-1 =

= 512 + 0 + 0 + 0 + 0 + 16 + 0 + 4 + 2 + 1 + 0,5 = 535,5

р = 8 : 18³ + 08² + 28¹ + 78⁰ + 48^-1 = 512 + 0 + 16 + 7 + 0,5 = 535,5

р = 16 : 216² + 116¹ + 716⁰ + 816^-1 = 512 + 16 + 7 + 0,5 = 535,5

Поразрядный перевод чисел из одной системы счисления в другую

Поразрядный перевод чисел из одной системы счисления в другую возможен, если основания этих систем счисления р и q связаны соотношением р = q^k, где k – целое число.

В этом случае перевод числа А_(р) системы счисления с основанием р в число А_(q) с основанием q производится путем поразрядного перевода цифр числа А_(р) (например, с помощью табл. 2.1) в к-разрядные группы чисел с основанием q. Последовательность этих групп и составляет число в системе счисления q.

Пример. Дано: А₍₈₎ = 205,43. Найти: А₍₂₎

Решение: А₍₈₎= 2 0 5, 4 3

А₍₂₎ = 010 000 101, 100 011

Ответ: А₍₂₎ = 10000101,100011.

Для перевод числа А_(q) системы счисления с основанием q в число с основанием p производится разбиение числа А_(q) на к-разрядные группы и перевод каждой такой группы в соответствующую ей цифру числа А_(p).

Пример. Дано: А₍₂₎ =1011111,10101. Найти: А₍₈₎

Решение: А₍₂₎ = 001 011 111, 101 010

А₍₈₎ = 1 3 7 , 5 2

Ответ: А₍₈₎= 137,52

Дробные десятичные числа переводятся в другую систему счисления по частям: отдельно переводится целая часть числа, отдельно – правильная десятичная дробь. Потом эти две части объединяют и получают число в новой системе счисления.

Перевод целых десятичных чисел в другую систему счисления

Для перевода нужно исходное десятичное число делить на основание новой системы счисления нацело, запомнив остаток. Результат деления вновь следует разделить на основание новой системы счисления, запомнив остаток. Деление повторяют, пока делимое не станет меньше делителя. Полученные остатки от деления, выраженные цифрами алфавита новой системы счисления, записанные в порядке, обратном порядку их получения, и есть исходное десятичное число в новой системе счисления.

Пример. Дано: А₍₁₀₎ = 75. Найти: А₍₂₎. Решение:

75	2
74	37	2
1	36	18	2
	1	18	9	2
		0	8	4	2
			1	4	2	2
				0	2	1
					0

Ответ: А₍₂₎ = 100011.

Пример. Дано: А₍₁₀₎ = 95. Найти: А₍₈₎. Решение:

95	8
88	11	8
7	8	1
	3

Ответ: А₍₈₎ = 137.

Пример. Дано: А₍₁₀₎ = 77. Найти: А₍₁₆₎. Решение:

77	16
64	4
13

Ответ: А₍₁₆₎ = 4D.