Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский биотехнологический университет (РОСБИОТЕХ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Итерационные методы решения систем линейных

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

09.04.2015

Размер:

105.47 Кб

Скачать

☆

Итерационные методы решения систем линейных

алгебраических уравнений

Метод простых итераций

Альтернативой точным методам решения систем линейных алгебраических уравнений являются итерационные методы, основанные на многократном уточнении – приближенно заданного решения системы . Верхним индексом в скобках здесь и далее по тексту обозначается номер итерации (совокупности повторяющихся действий).

Суть простейшего итерационного метода – метода простых итераций, состоит в выполнении следующих процедур.

1. Исходная система преобразуется к равносильному виду:

, (2.1)

где – квадратная матрица, – вектор, . Это преобразование может быть выполнено различными путями, но для обеспечения сходимости итераций нужно добиться, чтобы норма матрицы была меньше единицы, то есть , где или .

2. Вектор принимается в качестве начального приближения и далее многократно выполняются действия по уточнению решения согласно рекуррентному соотношению

, (2.2)

или в развернутом виде

3. Итерации прерываются при выполнении условия

, (2.3)

где – заданная точность, которую необходимо достигнуть при решении задачи, или более простого условия

. (2.4)

Замечания.

1) Процесс (2.2) называется параллельным итерированием, так как для вычисления -го приближения всех неизвестных учитываются вычисленные ранее их -е приближения.

2) Начальное приближение может выбираться произвольно или из некоторых соображений. При этом может использоваться априорная информация о решении или просто «грубая» прикидка.

Теорема 2.1. (достаточное условие сходимости метода простых итераций). Метод простых итераций, реализующийся в процессе последовательных приближений (2.2), сходится к единственному решению исходной системы при любом начальном приближении со скоростью не медленнее геометрической прогрессии, если норма матрицы меньше единицы, то есть .

Замечания.

1) Условие теоремы 2.1, как достаточное, предъявляет завышенные требования к матрице , и поэтому иногда сходимость будет, если даже .

2) Сходящийся процесс обладает свойством самоисправляемости, то есть отдельная ошибка в вычислениях не отразится на окончательном результате, так как ошибочное приближение можно рассматривать как новое начальное.

3) Условия сходимости выполняются, если в матрице преобладают диагональные элементы, то есть

, , (2.5)

и хотя бы для одного неравенство строгое. Иначе, модули диагональных коэффициентов в каждом уравнении системы больше суммы модулей недиагональных коэффициентов (свободные члены не рассматриваются).

4) Чем меньше величина нормы , тем быстрее сходимость метода.

5) Из неравенства (2.3) еще до начала расчета можно получить число итераций , требуемых для достижения заданной точности:

, (2.6)

где норма вектора определяется следующим образом: или .

Преобразование системы к виду с матрицей , удовлетворяющей условиям сходимости, может быть выполнено несколькими способами. Приведем способы, используемые наиболее часто.

1. Уравнения, входящие в систему , переставляются так, чтобы выполнялось условие (2.5) преобладания диагональных элементов. Затем первое уравнение разрешается относительно , второе – относительно и т.д. При этом получается матрица с нулевыми диагональными элементами.

Пример 1. Система

с помощью перестановки уравнений приводится к виду

где , , , то есть диагональные элементы преобладают.

Выражая из первого уравнения, – из второго, – из третьего, получим систему

где , .

Заметим, что , то есть условие теоремы 2.1. выполнено.

2. Уравнения преобразуются так, чтобы выполнялось условие преобладания диагональных элементов, но при этом коэффициенты не обязательно равнялись нулю.