ДИНАМИКА

Динамическое растяжение/сжатие

прямолинейного стержня с распределённой массой

x

u(x,t)

~

(x)

~

~

F(t)

m

mсоб(x) mпр(x)

A(x)

~

ρ(x) A(x) mпр(x)

интенсивность

aq

q(x,t)

сил инерции

q (x,t)

N(x,t) N(x,t) dx

aF

N(x,t)

in

x

qin(x,t) q(x,t)

F(t)

dx

q(x,t)

N0 (t)

qf (x,t)

– сопротивление

x

1. Статическая

вязкой среды

0

x

qf (x,t)

N(x,t)

сторона задачи:

x = 0

q(x,t) qin(x,t)

qf

(x,t)

( 1)

dx

x

2. Геометрическая сторона задачи

3. Физическая сторона задачи:

(соотношение Коши):

N (x,t)

( 3а)

ε(x,t)

u(x,t)

( 2)

– закон Гука:

ε(x,t) EA(x)

x

– закон

~

N(x,t) EA(x) u(x, t)

инерции: qin (x,t) m (x)u(x, t)( 3б)

– модель

x

вязкого qf (x,t) kf (x)u(x,t)( 3в)

трения:

Динамическое растяжение/сжатие

прямолинейного стержня с распределённой массой

x

u(x,t)

~

~

~

F(t)

m

(x) mсоб(x) mпр(x)

A(x)

~

ρ(x) A(x) mпр(x)

интенсивность

aq

q(x,t)

сил инерции

aF

N(x,t)

q (x,t)

N(x,t) N(x,t) dx

in

x

qin(x,t) q(x,t)

F(t)

dx

q(x,t)

N0 (t)

qf (x,t)

– сопротивление

x

1. Статическая

вязкой среды

0

x

qf (x,t)

N(x,t)

сторона задачи:

x = 0

dx

q(x,t) qin(x,t)

qf (x,t)

( 1)

x

EA(x)

u(x, t)

~

2u(x, t)

k f (x)

u(x, t)

q (x,t)

x

m (x)

t2

t

x

Динамическое растяжение/сжатие

прямолинейного стержня с распределённой массой

x

u(x,t)

~

(x)

~

~

F(t)

m

mсоб(x)

mпр(x)

A(x)

ρ(x) A(x)

~

mпр(x)

интенсивность

aq

q(x,t)

сил инерции

aF

N(x,t)

q (x,t)

N(x,t) N(x,t) dx

in

x

q

(x,t)

q(x,t)

F(t)

dx

q(x,t)

N0 (t)

in

qf (x,t)

– сопротивление

x

вязкой среды

0

x

qf (x,t)

Частные случаи:

1. Дифференциальное уравнение

dx

вынужденного движения растянутого/сжатого

прямолинейного стержня переменного сечения

с неравномерно распределённой массой,

без(сопротивленучёта демпфированияе – по модели(сопротивленияФойгта) )

u(x, t)

~

2

2

u(x,t)

~

u(ux(,xt,)t)

EA(x)

q (qx,(x,t)t)

EAm ((xx))

km((xx))

x

x

x

2

f

t

2

t

t

– уравнение в частных производных с переменными коэффициентами

Динамическое растяжение/сжатие

прямолинейного стержня с распределённой массой

x

u(x,t)

~

~

~

F(t)

m

(x) mсоб(x)

mпр(x)

A(x)

ρ(x) A(x)

~

mпр(x)

интенсивность

aq

q(x,t)

сил инерции

aF

N(x,t)

q

in

(x,t)

N(x,t) N(x,t) dx

x

qin(x,t)

q(x,t)

F(t)

dx

q(x,t)

N0 (t)

x

Частные случаи:

0

x

21. Дифференциальное уравнение

dx

вынужденного движения растянутого/сжатого

прямолинейного стержня постоянногоереме госечения

сснеравномерноравномерно распределённноймасссой,

без учёта демпфирования (сопротивления)

2

~

2

2

u(x, t)

u(x, t)

u(x,t)

~u(x,t)

q(x,t)

ВолновоеEA(x)

m

m

(x)

q (x,t)

x

x

2

x

EA

t

2

t

2

EA

уравнение

– уравнение в частных производных с постояннымиереме коэффициентами

Динамическое растяжение/сжатие

прямолинейного стержня с распределённой массой

x

u(x,t)

~

~

~

F(t)

m

(x) mсоб(x)

mпр(x)

A(x)

ρ(x) A(x)

~

mпр(x)

интенсивность

aq

q(x,t)

сил инерции

q

(x,t)

N(x,t) N(x,t) dx

aF

N(x,t)

in

x

qin(x,t) q(x,t)

F(t)

dx

q(x,t)

N0 (t)

x

Частные случаи:

0

x

2.3 Дифференциальное уравнение

dx

гармоническоговынужденн го движенияения растянутого/сжатогого

Решение уравнения:

прямолинейного стержня постоянного сечения

u(x,t)

u (x,t)

u (x,t)

с равномерно распределённой массой,

u(x,t) uj(x) sin( ω j t 0 j ) без учёта демпфирования (сопротивления)

j 1

2

2

~

2

2

d u(x)

~

q(x)

полигармоническая

Волновое

mω

F u(x,t)

u(x,t)

m

q(x,t)

2 2

u(x)

собственная

2

EAEA

уравнение

dx

EAEA

t

составляющая

x

– уравнение в частных производных–уравнениесвпостояннымиамплитудах перемещенийкоэффициентами

Динамическое растяжение/сжатие

прямолинейного стержня с распределённой массой

x

u(x,t)

~

~

~

F(t)

m

(x) mсоб(x)

mпр(x)

u (t)

A(x)

ρ(x) A(x)

~

mпр(x)

0

интенсивность

aq

q(x,t)

сил инерции

aF

N(x,t)

q

(x,t)

N(x,t) N(x,t) dx

in

x

qin(x,t)

q(x,t)

F(t)

dx

q(x,t)

N0 (t)

x

Частные случаи:

0

x

3. Дифференциальное уравнение

dx

гармонического движения растянутого/сжатого

Решение уравнения: прямолинейного стержня постоянного сечения

При q(x) = const = q

с равномерно распределённой массой,

u(x) u cos kx

N0

sin kx

0

kEA

без учёта демпфирования (сопротивления )

F

2

u(x)

~

2

q(x)

sin k(x

aF )

d

mωF

u(x)

dx2

EA

EA

qkEA

k2EA 1

cos k(x

aq )

– уравнение в амплитудах перемещений

Динамическое растяжение/сжатие

прямолинейного стержня с распределённой массой

x

u(x,t)

~

~

~

F(t)

m (x) mсоб(x)

mпр(x)

u (t)

A(x)

ρ(x) A(x)

~

mпр(x)

0

aq

q(x,t)

Частные случаи:

aF

43. Дифференциальное уравнение

q(x,t)

F(t)

собственныхгармоническогоколебанийдвижения

N0 (t)

qin(x,t)

растянутого/сжатого

0

x

x прямолинейного стержня

постоянного сечения

F(t) = F

dx

с равномерно распределённой массой,

2

2

~ 2

без учёта демпфирования (сопротивления)

q(x,t) = q(x)

d u(xd)u(x2)

2

q(x)

mωF

k

uk(x)u(x) 0 , где k

EA

u(x,t) = u(x)

* sin t t

dx2

dx2

EA

qin(x,t) = qin

(x)

F

– уравнение в амплитудах перемещений

u0(t) = u0

Решение уравнения по МНП при q(x) = const0:

= q :

N0(t) = N0

u(x) u cos kx N0

sin kx

F sin k(x a ))

q

1

cos k (x aq)

0

F

2

kEA

kEA

F(t) – сила инерции точечной

k EA

массы или реакция

упругой продольной связи

Динамическое кручение

прямолинейного стержня с распределённой массой

x

(x,t)

– угол закручивания

M(t)

~

(x) ρ(x) A(x)

A(x)

m

интенсивность

m

инерционных

a

m(x,t)

(x,t)

моментов

Mt (x, t)

m

Mt (x,t)

in

Mt (x, t)

dx

x

aM

M0 (t)

min(x,t)

M

dx

m(x,t)

(t)

x

1. Статическая

mx =

0

x

сторона задачи:

m(x,t)

Mt(x, t)

m(x,t) m (x,t)

( 1)

dx

x

in 0

2. Геометрическая сторона задачи

3. Физическая сторона задачи:

(погонный угол закручивания):

Mt

(x, t)

( 3а)

θ(x,t)

(x, t)

( 2)

– закон Гука:

x,t) GI

(x)

x

– закон

m (

~

t

инерции:

t) I

(x)

(x, t)

( 3б)

in

2

~m

(x, t)

(x,t)

(x,t)

Mt (x,t) GIt (x)

GIt (x)

I p(x)

I

(x)

ρ I

)

x

x

m

mp(x,t)

t2

Динамическое кручение

прямолинейного стержня с распределённой массой

x

(x,t)

– угол закручивания

M(t)

~

(x) ρ(x) A(x)

A(x)

m

интенсивность

m

инерционных

a

m(x,t)

(x,t)

моментов

Mt (x, t)

m

Mt (x,t)

in

Mt (x, t)

dx

x

aM

M0 (t)

min(x,t)

M

dx

m(x,t)

(t)

x

1. Статическая

0

x

сторона задачи: mx =

m(x,t)

Mt(x, t)

m(x,t)

m (x,t)

( 1)

x

dx

in 0

Дифференциальное уравнение

вынужденного движения при кручении

прямолинейного стержня переменного сечения

с неравномерно распределённой массой,

без учёта демпфирования (сопротивления )

GIt (x)

(x,t)

2 (x,t)

m(x,t)

x

I p(x)

t2

x

Динамическое кручение

прямолинейного стержня с распределённой массой

x

(x,t)

– угол закручивания

M(t)

~

(x) ρ(x) A(x)

A(x)

m

интенсивность

m

инерционных

a

m(x,t)

(x,t)

моментов

Mt (x, t)

m

Mt (x,t)

in

Mt (x, t)

dx

x

aM

M0 (t)

min(x,t)

M

dx

m(x,t)

(t)

x

0

x

dx m(x,t)

Частные случаи:

1. Дифференциальное уравнение

Решение уравнения:

вынужденного движения при кручении

остоянного

(x,t) (x,t)

(x,t) прямолинейного стержня переменногосечения

сснеравномернораспределённноймасссой,

(x,t) j(x) sin( ωj t ф0 j )

без учёта демпфирования (сопротивления)

j 1

полигармоническая

Волно

2 (x,(tx,) t) I p

2 (x,t2) (x,tm) (x,t)

собственная

вое

(x)

I

(x)

m(x,t)

GI

составляющая

уравнениеx

t

2

x

GI

p

2

GI

x

t

t

t

2

t

Динамическое кручение

прямолинейного стержня с распределённой массой

x

(x,t)

– угол закручивания

M(t)

~

A(x)

m (x) ρ(x) A(x)