. Далее по сортаменту выбираем Рис. 4

наиболее близкое к W_z=401,5см³ значение (в сортаменте он обозначен W_x). В результате для швеллера № 30 W_z=387см³. Это значение меньше требуемого, но допускается перенапряжение до 5%. Вычислим максимальное по модулю значение нормального напряжения для поперечного сечения, состоящего из двух швеллеров №30. .

Определим процент перенапряжения по формуле: , подставив в формулу числовые значения, получим - условие выполняется, перенапряжение меньше допустимого, поэтому принимаем к расчету два швеллера № 30.

Для одного швеллера № 30: W_z=387см³, статический момент площади отсеченной части S_z^отс=224см³, осевой момент инерции I_z=5810cм⁴ толщина стенки одного швеллера s=6,5мм, толщина полки t=11мм, высота швеллера в см соответствует его номеру h=300мм, ширина полки b=100мм.

Выполним проверку прочности по касательным напряжениям опасного сечения II-II. Наибольшее по модулю касательное напряжение возникает на нейтральной оси (опасная точка 2), т.к. именно здесь отношение статического момента площади отсеченной части к ширине сечения достигает максимального значения. Для проверки выполнения условия прочности воспользуемся формулой (5), приведенной ранее - очевидно, что условие прочности выполняется.

Выполним проверку опасного сечения III-III в опасной точке 3 по третьей гипотезе прочности (6): . Для этого требуется определить значения напряжений в точке 3 третьего опасного сечения, воспользуемся формулами (1) и (2).

,

Полученные значения напряжений подставим в условие прочности - очевидно, что условие прочности выполняется. Окончательно принимаем поперечное сечение из двух швеллеров № 30. Построим эпюры напряжений для всех опасных сечений.

Опасное Опасное Опасное

сечение I-I сечение II-II сечение III-III

эп σ_x [МПа] эп τ_yx [МПа] эп σ_x[МПа] эп τ_yx [МПа]

Рис. 5

б) Определение размеров сварного сечения

Разобьем сечение сложной формы на простые фигуры (прямоугольники). Через центр тяжести каждой фигуры проведем оси (y, z₁, z₂, z₃). Очевидно, что сечение симметричное, осью симметрии является ось y, следовательно, центр тяжести сечения находится на оси y. Определим ординату центра тяжести сложного сечения, за начало отсчета выберем ось z₂. Нанесем на чертеж расстояния от оси z₂ до осей z₁ и z₃.

Рис. 6

, знак «+» свидетельствует о том, что центр тяжести сечения находится выше оси z₂. Поведем через центр тяжести ось z и нанесем на чертеж расстояния от неё до осей z₂, z₁, z₃. Теперь найдем осевой момент инерции сечения относительно оси z как сумму моментов инерции простых фигур.

Выразим момент сопротивления сечения приравняем его к требуемому моменту сопротивления сечения, найденному ранее и определим значение параметра δ.

С помощью сортамента на стальные полосы определим размеры сечения: толщина стенки 0,5δ=8мм, толщина верней и нижней полок 2δ=32мм и т.д. Выставм размеры сечения в см на чертеж, предварительно округлив значения до десятых долей сантиметра. Аналогично предыдущему расчету определим геметрические характеристики сечения с принятыми размерами. Найдем центр тяжести сечения, осевой момент инерции сечения I_z и момент сопротивления сечения W_z.

Рис. 7

за счет округления размеров сечение имеет больший момент сопротивления по сравнению с .

- условие выполняется, имеет место небольшое недонапряжение, поэтому принимаем к расчету сечение с найденными размерами (рис. 7).

Для опасного сечения II-II выполним проверку прочности по касательным напряжениям. Наибольшее по модулю касательное напряжение возникает на нейтральной оси (опасная точка 2). Воспользуемся формулой (5): - условие прочности выполняется.

Для опасного сечения III-III выполним проверку в опасной точке 3 по третьей гипотезе прочности. Для этого требуется определить значения напряжений в точке 3 третьего опасного сечения.

,

Полученные значения напряжений подставим в условие прочности - очевидно, что условие прочности выполняется. Построим эпюры напряжений для всех опасных сечений и рассмотрим напряженное состояние в точке 3.

Опасное Опасное Опасное

сечение I-I сечение II-II сечение III-III

эп σ_x [МПа] эп τ_yx [МПа] эп σ_x[МПа] эп τ_yx [МПа]

Рис. 8

в) Расчет по предельной несущей способности. Определение размеров сварного сечения

В расчете по предельной несущей Опасное

способности ось z делит сечение на две сечение I-I

равновеликие части. Для начала найдем эп σ_x [МПа]

площадь всего сечения.

Площадь первого прямоугольника составляет 16δ², т.е. к его площади необходимо добавить еще 1δ²=2δ×0,5δ, чтобы получить половину площади сечения (17δ²).

Пределу текучести материала σ_s=240МПа соответствует предельный момент, который с одной стороны можно выразить как M_s=σ_s×W_s, а с другой стороны M_s=×k. Здесь W_s – пластический момент сопротивления сечения, Рис. 9

k – коэффициент запаса прочности.

Приравняем эти выражения между собой и найдем параметр δ.

Пластический момент сопротивления сечения W_s=/S₁/+/S₂/, где S₁ – статический момент площади сечения выше оси z, а S₂ – статический момент площади сечения, находящейся ниже оси z.

W_s=/S₁/+/S₂/=/16δ²×3δ+2δ×0,5δ×1δ/+/-8δ²×19δ-18δ×0,5δ×9δ/=282δ³.

M_s=σ_s×W_s=240×10³×282δ³=67680δ³×10³

M_s=×k=160,6×1,2=192,7кНм.

67680δ³=192,7кНм 67680δ³×10³=192,7кНм

.

Сравним δ=1,417см, найденный из расчета по несущей способности с δ=1,572см, определенным с помощью условия прочности по нормальным напряжениям. Очевидно, что расчет по предельной несущей способности дает меньшие размеры сечения, что приводит к экономии материала.

5) Расчет на жесткость

Произведем расчет на жесткость сечения из прокатного профиля (вариант а).

Расчет сводится к построению эпюр перемещений, определению опасных сечений, проверки выполнения условий жесткости, а при их невыполнении - корректировки размеров сечения. В настоящем примере выполним проверку только условия жесткости (7) для прогибов (v).

Перемещения сечений определяют с помощью уравнений метода начальных параметров. Эти уравнения получены путем интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки (). Для того, чтобы свести количество постоянных интегрирования к минимуму, т.е. к двум (), обязательно выполнение правил Клебша, некоторые из них приведены ниже.

1. Начало координат назначают строго на правом или левом конце балки.

2. При составлении уравнений рассматривают ту часть балки, которая содержит начало координат.

3. В случае, когда равномерно распределенная нагрузка прерывается в каком-то сечении, то часть балки между этим сечением и концом балки, противоположном началу координат, догружают и разгружают (компенсируют) равномерно распределенной нагрузкой той же интенсивности.

4. Если выражение (x-а_i)ⁿ < 0, то член, содержащий этот полином, исключается из уравнения.

Рис. 10

Определим жесткость поперечного сечения, состоящего из двух швеллеров № 30 (модуль Юнга E=2×10⁵МПа): EI_z=2×2×10⁸×5810×10^-8=23240кНм².

Опираясь на формулы (3) и рис. 10 составим уравнения метода начальных параметров для настоящей балки.

- постоянные интегрирования, - начальные параметры, а именно: - прогиб и угол поворота в начале координат (определяются с помощью кинематических граничных условий), - изгибающий момент и поперечная сила в начале координат (находятся с помощью уравнений равновесия, в данном случае они известны).

Знак нагрузок в уравнениях определяется с помощью правила знаков для изгибающих моментов, если нагрузка растягивает верхние волокна знак «-», нижние волокна «+».

Кинематические граничные условия в данном случае имеют вид:

1) x=2м, ;

2) x=10м, .

Используя, первое и второе граничные условия, получим два уравнения прогибов.

Уравнения прогибов составлены для сечений, в которых невозможен прогиб, т.е. прогиб на опоре равен нулю. Решим систему из двух уравнений, приведенных выше, найдем числовые значения .

Определим прогиб сечения на расстоянии 6м от начала координат (середина пролета балки).

x=6м

Определим углы поворота сечений на опорах.

x=2м

x=10м