![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
СтройМех. чI. Статически определимые системы
.pdf![](/html/2706/175/html_4rnN2wtXSj.3Ahh/htmlconvd-m28IVp61x1.jpg)
61
25 |
2 |
4 |
5 кН |
|
|||
|
1 |
|
|
3
1 5 кН
26
1 5 кН 4
1
2 |
3 |
|
|
35 кН |
|
||||
|
|
|
|
|
27
1 0 кН |
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
1 |
3 |
30 кН |
|
|
|
28 |
1 5 кН |
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
1
5 кН
20 кН
2,8м |
2,8м |
2,8м |
2,8м |
Рис.4.14
1,4м1,4м
1,4м1,4м
1,4м1,4м
1,4м1,4м
![](/html/2706/175/html_4rnN2wtXSj.3Ahh/htmlconvd-m28IVp62x1.jpg)
62
29 |
1 |
2 |
4 |
|
20 кН
30
1 0 кН
1,5м
|
м |
40 кН |
,5 |
1
3
1 |
2 |
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
4 |
,5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
,5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
20 кН |
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 0 кН |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 30 кН |
3 |
|
|
|
|
32 |
|
|
1 0 кН |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
,5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
,5 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
20 кН |
|
|
|
|
|
3м |
3м |
3м |
|
3м |
|
|
Рис.4.15 |
|
|
|
|
![](/html/2706/175/html_4rnN2wtXSj.3Ahh/htmlconvd-m28IVp63x1.jpg)
63
5. ТРЕХШАРНИРНЫЕ АРКИ
Статически определимая трехшарнирная арка образуется двумя криволи-
нейными стержнями, соединенными между собой ключевым шарниром «С» и с основанием – пятовыми шарнирами «А» и «Б» (рис.5.1). Будем рассматривать только простые арки, в которых пятовые шарниры лежат на одном уровне, за-
груженные вертикальной нагрузкой. Расстояние между опорами называется пролетом арки – , а высота от уровня опор до ключевого шарнира – стрелой подъема f. Геометрические характеристики арок вычисляются по следующим формулам.
Для параболических арок:
|
|
|
|
|
y |
4 f |
|
x (l x) ; |
|
|
|
|
|
(5.1) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
tg |
4 f |
|
(l 2 x) ; cos |
|
|
|
1 |
|
|
|
; sin cos tg . |
(5.2) |
||||||||||||||
l 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
tg |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Для круговых арок: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
R2 ( |
l |
x)2 R f ; |
|
|
(5.3) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
R |
|
f |
|
l 2 |
|
|
; |
sin |
l 2 x |
; cos |
y R f |
. |
(5.4) |
||||||||||||
|
|
|
8 |
|
|
|
2 |
|
R |
|||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Для синусоидальных арок: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
y |
f sin x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.5) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
tg f cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.6) |
5.1.Расчет на неподвижную нагрузку
5.1.1.Определение опорных реакций
Рассмотрим трехшарнирную арку с пятовыми шарнирами, расположен-
ными на одном уровне, при действии вертикальной нагрузки (рис. 5.1).
![](/html/2706/175/html_4rnN2wtXSj.3Ahh/htmlconvd-m28IVp64x1.jpg)
64
x
B
H
|
|
B |
|
n |
|
|
P |
|
i |
|
l |
b |
|
|
|
|
2 |
P |
|
|
C |
|
l |
|
f |
|
P |
|
|
|
|
1 |
|
|
l |
|
|
K |
i |
y |
|
P |
|
|
n |
|
x |
i |
2 |
|
P |
|
|
a |
|
|
|
|
1 |
|
|
P |
y |
|
A |
|
|
A
H
B
V
|
B |
n |
|
P |
|
P |
|
|
C |
|
l |
P |
|
|
K |
i |
|
P |
|
2 |
|
P |
x |
1 |
|
P |
|
|
A |
A
V
0 |
|
|
|
M |
|
|
|
B |
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
0 |
C |
.5 |
|
|
с |
||
M |
|||
и |
|||
|
|
Р |
|
0 |
|
|
|
|
x |
|
|
M |
|
||
A |
|
|
|
V |
|
|
65
Разложим каждую опорную реакцию на две составляющие: одну по на-
правлению линии, соединяющей пятовые шарниры, другую по вертикали. Для определения четырех неизвестных VA , VB , HA и HB составим три уравнения рав-
новесия для всей арки: ΣХ=0; ΣМА=0; ΣМВ=0; и условие шарнирного соединения полуарок ключевым шарниром М Слев 0 или М Справ 0 .
Вертикальные составляющие опорных реакций представляют собой опор-
ные реакции в простой балке при пролете, равном расстоянию между пятовыми шарнирами:
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|||
М А |
0 |
VB |
|
Pi |
ai |
(5.7) |
||||
|
l |
|
||||||||
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|||
М В |
0 |
VA |
|
Pi |
bi . |
(5.8) |
||||
|
l |
|
||||||||
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
Проектируя все силы на ось Х, убеждаемся, что горизонтальные составляющие реакций равны между собой по абсолютной величине и противоположны по на-
правлению:
|
|
Х 0 Н А Н В 0 ; Н А Н В |
(5.9) |
|||||
Для определения распора Н Н А Н В |
составим условие равновесия левой части |
|||||||
арки в виде суммы моментов относительно ключевого шарнира. |
|
|||||||
М левС |
0 ; VA l1 |
Pi лев (l1 |
a1 ) H f 0 . |
(5.10) |
||||
Из рис. 5.1 видно, что V |
A |
l |
|
Pi |
лев (l1 – a1 |
) = M 0 выражает изгибающий |
||
|
1 |
|
|
|
C |
|
момент в сечении С простой балки под ключевым шарниром арки. Получим вы-
ражение для определения распора:
Н |
М 0 |
(5.11) |
|
С |
|||
|
|
f
5.1.2 .Определение изгибающих моментов
Выразим изгибающий момент в произвольном сечении «х» (рис.5.1):
М х VA x Pi лев (x ai ) H y
где VA x Pi лев (x ai ) M x0 - |
изгибающий момент в сечении балки, располо- |
женном под соответствующим |
сечением арки. |
66
Таким образом:
М Х М Х0 Н y |
(5.12) |
5.1.3. Определение поперечных сил
Для вычисления поперечной силы в произвольном сечении «х» будем проек-
тировать все силы, расположенные слева от этого сечения на нормальную ось n.
QX VA cos Pi лев cos H sin (VA Pi лев ) cos H sin
где VA Pi лев QX0 - поперечная сила в сечении балки, расположенном под со-
ответствующим сечением арки. Таким образом: |
|
QX QX0 cos H sin . |
(5.13) |
5.1.4. Определение продольных сил |
|
Для вычисления продольной силы в произвольном сечении х будем проек-
тировать все силы, расположенные слева от этого сечения на касательную ось τ.
N X |
VA |
sin Pi лев sin H cos , или |
|
N X |
(QX |
sin H cos ) |
(5.14) |
Пример 5.1. Для трехшарнирной параболической арки (рис.5.2) вычислить
аналитически внутренние усилия в сечениях и построить эпюры изгибающих
моментов Mх , поперечных Qх и продольных Nх сил. При определении усилий направление осей проекций принято в соответствии с декартовой системой ко-
ординат.
Решение:
1) Определяем координаты намеченных сечений и углы наклона касатель-
ной к оси арки в этих сечениях, используя зависимости (5.1), (5.2)
y |
4 f |
x (l x) ; y/ = tg |
4 f |
(l 2 x) . |
|
l 2 |
l 2 |
||||
|
|
|
Полученные значения заносим в таблицу 5.1.
2) Определяем составляющие опорные реакции арки (5.5); (5.6):
MА = 0; (1,4 52)/2 + 3 10 + 1,6 5 17,5 - VB 20 = 0; VB = 9,375 кН,MВ = 0; VА 20 – 1,4 5 17,5 - 3 10 – (1,6 52)/2 = 0; VА = 8,625 кН,MСлев.с. = 0; 8,625 10 - НА 5 – 1,4 5 7,5 = 0; НА = 6,75 кН.
3) Производим проверку найденных составляющих опорных реакций:
67
X = 0; 6,75 – 6,75 = 0, Y = 0; 8,625 – 1,4 5 – 3 – 1,6 5 + 9,375 = 0,MСлев.с. = 0; 8,625 10 – 6,75 5 – 1,4 5 7,5 = 0.
4)Строим балочные эпюры изгибающих моментов и поперечных сил (MХ 0 , QХ 0.) от заданной нагрузки (рис.5.3).
5)Определяем внутренние усилия Mх , Qх и Nх по формулам (5.7)-(5.9) в
сечениях арки. Все вычисления сводим в таблицу 5.1.
6)Строим эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил в арке от заданной нагрузки (рис 5.4).
7)Выполняем статическую проверку. Рассматриваем равновесие левой от-
сеченной части трехшарнирной арки относительно сечения 5 и составляем уравнение равновесия:
X = 0; 6,75 – 6,881 0,97 – 0,3 0,242 = 0,
Y = 0; 8,625 – 1,4 5 – 3 + 6,881 0,242 - 0,3 0,97 = 0,M5лев.с. = 0; - 8,625 12,5 + 6,75 4,687 + 1,4 5 10 + 3 2,5 = 0.
Аналогично рассчитываем равновесие правой отсеченной части арки отно-
сительно сечения 6 и составляем уравнения равновесия:
X = 0; - 6,75 + 6,566 0,895 + 1,791 0,447 = 0,
Y = 0; 9,374 – 1,6 5 + 1,791 0,895 - 6,566 0,447 = 0,M6пр.с. = 0; - 1,575 – 1,6 5 2,5 – 6,75 3 3,75 + 9,374 5 = 0.
Пример 5.2. Вычислить значения внутренних усилий в сечениях 1 и 2
трехшарнирной арки (рис.5.5).
Результаты решения:
1) M1 = 1,15 кНм; Q1 = 2,1/ - 2,07 кН; N1 = - 9,05/6,28 кН; M2 = 2,65 кНм; Q2 = - 0,01 кН; N2 = - 7,56 кН.
2) M1 = 0; Q1 = 0,79 кН; N1 = - 25,53 кН;
M2 = 3,75 кНм; Q2 = - 1,19 кН; N2 = - 25,83 кН. 3) M1 = 1,67 кНм; Q1 = 1,16 кН; N1 = - 12,01 кН; M2 = - 11,37 кНм; Q2 = - 2,04 кН; N2 = - 12,31 кН. 4) M1 = - 54,5 кНм; Q1 = 5,99 кН; N1 = - 40 кН; M2 = - 0,96 кНм; Q2 = - 13,03 кН; N2 = - 44 кН.
![](/html/2706/175/html_4rnN2wtXSj.3Ahh/htmlconvd-m28IVp68x1.jpg)
|
|
|
|
|
|
68 |
|
|
|
|
|
y |
|
|
q1 = 1 ,4 кН /м |
P=3кН |
|
|
q2 = 1 ,6 кН /м |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
4 |
|
|
|
f=5м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
V =8,625 кН |
1 |
|
|
|
|
|
|
5 |
V =9,375 кН |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2,5 |
|
2,5 |
2,5 |
2,5 |
2,5 |
2,5 |
2,5 |
2,5 |
||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
l=20м |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
Рис.5.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q1 = 1 ,4 кН /м |
|
P=3кН |
|
q2 = 1 ,6 кН /м |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
C |
4 |
|
5 |
6 |
B |
|
|
2,5 |
|
2,5 |
2,5 |
2,5 |
2,5 |
|
2,5 |
2,5 |
2,5 |
|
17,18 |
25,625 |
25,688 |
30,313 |
|
26,875 |
18,638 |
|
||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
Q |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39,75 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
1,375 |
5,375 |
9,325 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8,625 |
|
5,125 |
1,625 |
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Рис.5.3 |
|
|
|
|
|
![](/html/2706/175/html_4rnN2wtXSj.3Ahh/htmlconvd-m28IVp69x1.jpg)
|
|
|
|
|
69 |
|
|
|
|
q1 = 1 ,4 кН /м |
|
|
P=3кН |
q2 = 1 ,6 кН /м |
|
||||
x |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1,948 |
-1,337 |
|
|
||||
|
|
- |
|
|
- |
|
|
|
|
+ |
0,325 |
|
|
|
1,575 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,437 |
|
Эпюра M |
|
|
3,688 |
|
|||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,791 |
|
|
1,326 |
|
|
|
1,625 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+ |
|
|
+ |
|
0,3 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
-0,05 |
- |
-0,058 |
- |
|
-0,125 |
- |
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1,569 |
|
|
-1,375 |
-1,856 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Эпюра Q |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
8,295 |
6,778 |
6,75 |
|
6,75 |
6,566 |
|
|
|
|
|
|
|
8,495 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10,870 |
|
|
Эпюра N |
|
|
11,40 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
Рис.5.4 |
|
|
|
|
![](/html/2706/175/html_4rnN2wtXSj.3Ahh/htmlconvd-m28IVp70x1.jpg)
|
|
|
|
|
70 |
|
|
|
|
|
P=5кН |
q = 2 кН /м |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Парабола |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
1 |
f=4м |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3м |
|
3м |
3м |
|
3м |
|
A |
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
=6кН |
P |
=4кН |
|
|
|
|
2 |
|
q2 = 1 ,5 кН /м |
||
q1 |
= 1 кН /м |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Парабола |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
f=6м |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
3м |
3м |
|
6м |
6м |
|
3м 3м |
|
A |
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P=10 кН |
|
|
q = 2 кН /м |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
C |
|
Окружность |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
f=4,5м |
|
|
3 |
1,8м |
3,6м |
|
3,6м |
1,8м |
1,8м |
5,4м |
|
A |
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q = 2 кН /м |
|
|
|
P=30 кН |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
C |
|
Окружность |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
f=6м |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
7,2м |
2,4м 2,4м |
2,4м |
2,4м |
7,2м |
|
A |
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.5.5 |
|
|