СтройМех. чI. Статически определимые системы
.pdf31
Пример 2.1.3. От заданных нагрузок определить аналитически внутренние усилия в сечениях рамы (рис. 2.10, 2.11) и построить эпюры изгибающих мо-
ментов Mp , поперечных Qp и продольных Np сил. Результаты решения приведе-
ны на рис. 2.10, 2.11.
q |
P = q l |
|
P = q l |
|
q |
||
|
|
q |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2ql |
l/ |
|
M = q l 2 |
l |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
l/ |
|
|
ql |
ql/4 |
ql/4 |
q l/4 |
2,5 ql |
|
|
|
ql/2 |
|
2ql |
2,5q l |
l/2 |
l/2 |
l/2 |
l/2 1 ,75 ql |
l/2 |
l/2 |
l/2 |
l/2 |
q
ql |
2 |
|
|
2 |
|
P = q l |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
P = ql |
1 ,25 ql |
2 |
|
|
0,406q l |
|
0,5q l |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
q |
q |
q l /4 |
|
|
|
0,5q l |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0,469q l 2 |
|
|
0,375ql 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0,75q l 2 |
|
|
|
|
3/32q l 2 ql 2/4 |
3 /4q l 2 |
M = q l 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
0,1 75 ql 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
M р |
|
|
|
|
|
|
|
ql 2/3 2 |
|
0,1 25 ql 2 |
1 ,1 25 ql 2 |
||||
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M р |
|
|
|
|
|
2,25 ql |
|
|
|
|
P = ql |
q |
|
|
|
|
|
|
|
P = ql |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
q l |
|
q |
|
0,5 ql |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 ,25ql |
|
|
|
- |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,75q l |
|
|
|
- |
0,75q l |
|
|
|
- |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ,5 ql |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 ,75q l - |
|
|
|
|
|
|
2,5ql |
|
|
|
|||
|
|
ql |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ M = q l |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
Q р |
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,25 ql |
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 25q l |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ql |
|
|
P = q l |
|
|
|
|
0,75ql |
|
|
|
P = ql 0,25ql |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
q |
|
- |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
- |
2,25 ql |
|
|
|
|
|
|
- |
|
0,5ql |
|
|
|
|
M = q l 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
N р |
|
|
- |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 ,75 ql |
|
|
|
|
N р |
|
|
|
- |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ql |
|
2,5q l |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Рис.2.10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2м2м
2м2м
2 кН /м
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 кН /м |
|
|
|
|
|
3 кН /м |
|
1 54 |
1 67,5208 |
24 |
1 84 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
82 кН |
|
|
1 2 кН |
1 0 |
|
|
1 2 кН |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
80 |
24 |
|||
|
|
|
|
30 кН |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
208 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 0 |
|
|
|
|
|||
1 0 кН м |
|
70 кН |
|
|
M p |
|
|
|
1 84 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6м |
|
4м |
|
|
1 0 кН м |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 кН /м |
|
|
|
|
3 кН /м |
|
|
||
|
|
1 8 |
|
|
|
82 |
|
|
|
|
|
|
- |
1 2 |
6 |
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36,764 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
- |
|
+ |
|
1 2 кН |
|
|
- |
1 2 кН |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
82 |
|
|
|
|
|
|
79,1 84 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 кН м Q p |
+ |
|
|
1 0 кН м |
N p |
70,7 - |
|
|
|||
8 кН |
|
28,28 |
|
|
8 кН |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
2 кН /м |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4,5 кН |
|
|
4 кН м |
9 |
3 |
|
4 кН м |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
2 кН /м |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
||
|
|
|
8 кН |
|
M p |
|
7 |
7 |
|
|
|
|
|
|
3,5 кН |
|
1 8 |
1 1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2м |
|
2м |
2м |
|
2м |
|
|
|
|
|
|
4,5 |
8 кН |
|
|
2 кН /м |
8 кН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
4 кН м |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3,5 |
|
|
|
|
3,5 |
- |
4 кН м |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Q p |
|
+ |
|
|
|
N p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.2.11
33
2.2. Задание для выполнения задачи № 1 «Расчет плоских статически
определимых рам расчетно-графической работы № 1»
В задаче №1 следует от заданных нагрузок определить аналитически усилия в сечениях рамы(рис.2.12-2.15)и построить эпюры изгибающих моментов Mp , поперечных Qp и продольных Np сил в соответствии с шифром задания. Шифр задания выбирается в соответствии с порядковым номером в учебной ведомости.
1 |
|
0,8 кН /м |
80 кН |
2 |
8 кН м |
20 кН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
6 кН м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
0,4 кН /м |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6м |
|
2м |
|
6м |
2м |
2м |
3 |
4 кН /м |
|
1 2 кН |
|
4 |
5 кН /м |
6 кН м |
|
м |
|
|
4 кН м |
м |
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
8 кН |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
м |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
6м |
|
6м |
|
|
2м |
6м |
2м |
5 |
|
|
4 кН м |
6 |
|
|
|
|
3 |
|
|
0,5 кН /м |
|
1 0 кН |
|
|
|
м |
|
|
|
|
4 кН /м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 кН м |
м |
|
|
|
|
м |
|
|
|
3 |
20 кН |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3м |
3м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2м |
3м |
3м |
2м |
||
7 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 кН |
|
8 кН м |
|
8 |
|
1 кН /м |
|
м |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 кН м |
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
м |
|
|
|
5 кН /м |
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 6 кН |
2 |
||
|
2м |
2м |
4м |
|
|
|
||
|
|
2м |
2м |
6м |
|
|||
|
|
|
|
Рис.2.12 |
|
|
|
34
9
м 2
м 2
1 1
1 3 |
|
|
0,6 кН /м |
|
|
1 0 |
2 кН /м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 4 кН |
|
|
|
|
1 5 кН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
4 кН м |
|
|
4 кН м |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
4м |
|
4м |
|
|
6м |
3 м |
3м |
|
|
|
|
|
1 2 |
7 кН м |
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 8 кН |
|
,5 |
|
|
|
||
м |
1 |
|
9 кН |
||||
|
|
|
м |
|
|||
4 кН /м |
|
|
4 |
,5 |
3 кН /м |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
м |
|
|
|
|
|
8 кН м |
м |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2м |
2м |
2м |
|
1 4 |
4м |
4м |
|
|
|
|
|
4 кН /м |
20 кН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 8 кН |
|
5 кН /м |
|
|
м |
|
|
2 |
|
|
м |
1 2 кН м |
|
2 |
||
6м |
2м |
2м |
1 5 |
1 ,4 кН /м |
|
|
||
8 кН |
|
|
6 кН м |
|
|
3м |
|
3 м |
|
6м |
|
|
|||
|
|
|
|
|
9 кН м м 3
м 3
|
|
|
6м |
|
3 м |
|
3м |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 6 |
|
|
|
|
|
20 кН |
|
м |
|
|
|
2 |
9 кН м |
|
|
м |
2 кН /м |
м |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
м |
|
|
м |
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2м |
2м |
3 м |
3 м |
Рис.2.13 |
|
|
|
1 7
2м2м
2м
35
|
2 кН /м |
|
20 кН |
|
6 кН м |
4м |
4м |
1 м 1 м |
1 8 |
1 2 кН |
4 кН м |
1 ,5 кН /м |
|
|
м |
|
2 |
|
м |
|
2 |
3м |
3м 3м |
1 9 |
|
|
|
|
1 8 кН |
|
|
|
м |
|
|
|
|
2 |
2 кН /м |
|
|
м |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
м |
|
|
|
|
2 |
м |
|
|
|
|
|
|
|
4 кН м |
м |
4 |
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
6м |
|
6м |
|
|
21 |
|
|
|
|
8 кН |
|
|
|
|
4 кН /м |
|
5 кН м |
|
|
м |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3м |
4м |
2м 2м |
|
20 |
1 0 кН м |
3 кН /м
4 кН
|
6м |
6м |
|
22 |
|
1 0 кН /м |
|
|
|
|
|
20 кН |
|
6 кН м |
м |
|
|
2 |
|
|
|
|
м |
|
|
|
2 |
2м |
2м |
6м |
|
23 |
1 2 кН |
|
|
|
24 |
4 кН /м |
|
|
|
|
|
||
|
|
2 кН /м |
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
м |
6 кН м |
|
м |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
6 кН м |
|
|
4 |
|
8 кН |
|
|
|
|
|
||
|
3м |
3м |
3м |
|
6м |
6м |
2м2м
Рис.2.14
36
25 |
|
4 кН /м |
|
1 0 кН |
|
м |
|
3 |
|
м |
2 кН м |
3 |
|
6м |
6м |
26
6 кН м
|
2 кН /м |
м |
1 2 кН |
3 |
|
6м |
6м |
27
2 кН /м |
4 кН м |
|
|
6м |
4м |
1 8 кН |
28 |
|
|
||
м |
м |
|
2 |
||
2 |
||
|
||
м |
м |
|
2 |
2 |
|
1 кН /м |
|
|
1 8 кН |
4 кН м |
|
|
|
4м |
3м |
3 м |
29 |
|
|
3 0 |
|
1 2 кН |
|
|
8 кН |
4 кН /м |
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
4 кН м |
|
|
|
6 кН м |
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|
2 кН /м |
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
6м |
6м |
|
6м |
3м |
3м |
2м2м2м
31
6 кН м |
|
3 2 |
|
1 2 кН |
|
|
|
|
2 кН /м |
|
м |
|
2 |
|
|
|
м |
|
|
2 |
|
|
м |
|
|
2 |
6м |
3м |
3м |
Рис.2.15
|
0,8 кН /м |
|
|
|
1 6 кН |
м |
|
|
|
3 |
|
1 0 кН м |
м |
||
,5 |
|||
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
м |
|
|
|
,5 |
|
|
|
1 |
|
4м |
4м |
|
37
3. МНОГОПРОЛЕТНЫЕ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
Многопролетной статически определимой балкой называется геометри-
чески неизменяемая статически определимая система, состоящая из однопро-
летных балок, соединяемых между собой полными идеальными шарнирами.
3.1. Образование многопролетных статически определимых балок
Необходимым условием геометрической неизменяемости балки является равенство нулю ее степени свободы W = 3D – Ш – С0 = 0. Число дисков D или отдельных балок зависит от количества шарниров Ш, т.е. D = Ш +1. Поэтому выражение 3(Ш + 1) – 2Ш - С0 = 0 позволяет получить необходимое условие геометрической неизменяемости многопролетной статически определимой бал-
ки в виде
Ш = С0 – 3,
где С0 – число опорных связей.
Необходимое количество шарниров должно быть расположено таким обра-
зом, чтобы система во всех своих частях была геометрически неизменяемая и статически определимая.
Существуют три способа расположения шарниров в пролетах балки
1)постановка по одному шарниру в пролете (рис.3.1 а);
2)шарниры располагают по два через пролет (рис.3.1 б);
3)комбинированная постановка шарниров (рис.3.1 в).
Для соблюдения условий статической определимости и геометрической неизменяемости во всех частях таких балок при их конструировании необходи-
мо выполнять следующие правила:
1)в каждом пролете должно быть не более двух шарниров; 2)пролеты с двумя шарнирами следует чередовать с пролетами без шарниров;
3)если крайняя опора шарнирная, то в примыкающем пролете может быть ус-
тановлено не более одного шарнира;
38
a) Ш = 6 - 3 = 3
Ш = 6 - 3 = 3
б)
Ш = 7 - 3 = 4
Ш = 7 - 3 = 4
в)
Ш = 6 - 3 = 3
|
|
Рис. 3.1 |
Ш = 6 - 3 = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р ис.3.1 |
|
|
Б - 1 |
Б - 2 |
Б - 3 |
Б - 4 |
Б - 5 Б - 6 |
a)
Ш = 8 - 3 = 5
б)
Б - 1 Б - 2 Б - 3 Б - 4 Б - 5 Б - 6
Рис. 3.2
Р ис.3.2
4)если крайняя опора имеет заделку, то в примыкающем пролете должно располагаться не менее одного шарнира;
5)для того, чтобы балка была неподвижной, в горизонтальном направлении достаточно одной связи первого вида.
3.2. Аналитический расчет многопролетных статически определимых
балок на неподвижную нагрузку
Существуют два способа расчета балок: способ расчета балки в целом как статически определимой системы и способ расчета балки путем построения по-
этажной схемы.
39 3.2.1. Способ расчета балки в целом как статически определимой системы,
заключается в определении опорных реакций из условий сопряжения балок в шарнирах и уравнений равновесия всей системы. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил выполняется как в статически определимых систе-
мах. Такой путь решения слишком громоздок. Способ расчета балки путем по-
строения поэтажной схемы является более удобным.
3.2.2. Расчет многопролетной статически определимой балки с применени-
ем поэтажной схемы.
При правильной постановке пролетных шарниров многопролетная балка разделяется на ряд однопролетных статически определимых балок (рис.3.2 а).
Характер взаимодействия между балками может быть выявлен в поэтажной схеме, где можно выделить два вида балок: основные и вспомогательные
(рис.3.2 б). Основные балки (Б-1, Б-4, Б-6)крепятся тремя связями непосредст-
венно к основанию. Вспомогательные балки (Б-2, Б-3, Б-5) опираются на основ-
ные.
При изображении поэтажной схемы балки, следует иметь в виду, что на-
рушается общая горизонтальная связь балки, поэтому в каждой простой балке необходимо показывать все три связи, необходимые ей для геометрической не-
изменяемости и статической определимости.
По условиям работы балки разделяются: на независимые и зависимые.
Независимые балки способны воспринять только местную нагрузку, распо-
ложенную в пределах их длины.
Зависимые балки – это такие, которые испытывают действие не только на-
грузки, расположенной непосредственно на них, но и давление со стороны сме-
женных балок, на них опирающихся.
В поэтажной схеме (рис.3.2 б) балки Б-2 и Б-5 являются независимыми, а
остальные – зависимыми.
Поэтажная схема балки определяет порядок расчета балки, как совокупно-
сти однопролетных балок. Расчет начинают с независимых балок. Затем рассчи-
40
тывают зависимые балки, начиная с самых верхних и спускаясь по поэтажной
схеме до самых нижних.
Расчет каждой балки выполняется в следующей последовательности:
1)определение опорных реакций;
2)вычисление изгибающих моментов в необходимых для построения эпю-
ры сечениях;
3) вычисление поперечных сил в характерных сечениях;
При расчете зависимых балок необходимо учесть давление вышележащих балок, опирающихся на зависимые балки.
Сила, с которой верхняя балка действует на рассматриваемую, равна по ве-
личине реакции верхней балки и имеет противоположное направление.
Пример 3.2.1. От заданной нагрузки определить усилия Mp , Qp в сечениях балки и построить эпюры изгибающих моментов Mp и поперечных сил Qp
(рис.3.3).
Решение:
1)строим поэтажную схему, выделяя зависимую балку Б-2 и независимые Б-1 и Б-3 (рис.3.3)
2)определяем опорные реакции в независимой балке Б-1 (рис.3.4 а).
МА = 0; - 10 3 1,5 + RВ 3 = 0; RВ = 15 кН,МВ = 0; – RА 3 + 10 3 1,5= 0; RА = 15 кН. Проверка: Y = 0; 15 - 10 3 + 15 = 0.
3) вычисляем усилия M и Q в характерных сечениях балки Б-1
МА = 0; QA = RA = 15 кН; М1 = 15 1,5 - 10 1,5 1 = 11,25 кНм; Q1 = 15 - 10 1,5 = 0 кН; МВ = 0; QВ = - RВ = - 15 кН.
4)строим эпюры Mp и Qp в балке Б-1 (рис. 3.4 а).
5)определяем реакции в независимой балке Б-3 (рис.3.4 б)
МЕ = 0; - 60 + RF 2 = 0; RF = 30 кН,МF = 0; RE 2 – 60 = 0; RF = 30 кН.