Elektrotehnika_i_elektronika_2008
.pdf51 |
Глава 1. Электрические и магнитные цени |
1.2.2.2. Первый и второй законы Кирхгофа
Комплексные амплитуды токов. (156) являются постоянными, не'
зависящими от времени величинами. Поэтому для них так же, как и для цепей постоянного тока,, в любом узле синусоидальной элек-
трической цепи справедлив первый :закон Кирхгофа в комплексной форме: .
Iт = 0, |
(1.72) |
k=1
т. e, алгебраическая сумма комплексных амплитуд токов в любом узле
электрической цепи синусоидального тока равна нулю.
Аналогичным образом на основании второго закона Кирхгофа.
получить выражение этого закона для замкнутого контура цепи синусоидального тока в комплек-
сной форме:
f
Е,,,1 |
Urnk = |
Iт* Zk, |
(1 .73) |
1
т. e. алгебраическая сумма комплексных амплитуд ЭДС в любом : кон туре электрической цепи синусоидального тока равна алгебраи^геской
сумме комплексных амплитуд напряжений на элементах контура.
Все методы расчета цепей постоянного тока (эквивалентных преобразований, уравнений Кирхгофа, контурных токов, наложения,
узловых потенциалов и др.) можно применять к расчету цепей sinтока, представив все электрические величины в комплексной фор-
ме записи. Метод расчета цепей вгп-тока, основанный на изображе-
нии` гармонических функций времени комплексными числами, называется методом комплексных амплитуд.
1.2.3. Пассивные элементы в цeпяx .
cинycoидaльнoro тока
7.2.3.7. Peзucmop R в цепи синусоидального тока
Если к peзиcтopy R (рис. 1.33,. a), как к элементу цeпя, подклю- |
|
чено cинycoидaльнoe нaпpяжëниe: |
(1 .74) |
u(t) = Um sin ,(w1 + ч' ) |
|
то через него потечет cинycoидaльный ток |
|
l(t) = Tm sin (wi + 1Jli), |
(1.75) |
r |
52 |
Элекгпротехниха и элеютроника |
t
T
б
Рис. 1.33.-Резистор R в цепи синусоидального тока (a), векторная диаграмма и временные графики напряжения и тока (б)
им соответствуют комплексные амплитуды напряжения и тока:
Um = U e.^Vu ^ Im =jm el^Yr
на основании (1.6 1), |
(1 .б2) и (1.б)6 пол}гчаем: |
|
||||||||
Z. |
--R^ |
x.— p ^ |
^Р |
-- |
ши |
— |
|
У= ^ |
- — |
(1.76) |
|
|
|
|
|
^i^ |
Z |
У ^ g , |
|
||
т. е. комплексное сопротивление Z и комплексная проводимость У цепи с резистором являются вещественными величинами и равны
соответственно его активному сопротивлению R и активной прово-
димости g, а разность фаз ф = о; векторы U,,, и I,,, совпадают по на-
правлению. Векторная диаграмма и временные графики напряже-
ния и тока для рассматриваемой цепи приведены на рис. 1.33, б.
1.2.3.2.Катушка индуктивности
вцепи sin -тона
Если к катушке c индуктивностью L (рис. 1.34,. a), не. имеющей
активного сопротивления, приложить синусоидальное напряжение (1.74), то по ней потечет ток (1.75), который наведет в ней ЭДС самоиндукции:
eL = --L dtdi '
которая уравновешивает приложенное к ней напряжение и(t). По { второму закону Кирхгофа для мгновенных значений напряжения и ЭДС можно записать:: .
53 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава. 1. Электрические и магнитные цепи |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
u+eL .=O |
или |
и — --еL |
`.l, ^di . |
(1.77) |
||||||
|
Подставив сюда ток (1,.75), получим'. |
|
dt |
|
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
. |
и(t) = wLlm cos (со. н + цrт ) = |
, |
|
|
|
|
|||||||||
|
= |
|
,,, |
sin (o1 |
+^i+ |
|
) |
|
|
( |
|
|
, |
|
|
|
U |
|
|
|
|
= U sin ^ct |
^^) |
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
т |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
где U |
,,, |
= О)LIт |
^• Ц'u |
= ЦТ. -- |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
r |
|
2 • |
|
|
|
|
|
|||||
Следовательно, сдвиг фаз между напряжением и током в цепи c
индуктивностью L равен:
фЦ', ' |
Г |
. |
'2 |
т. e. ток в индуктивной катушке отстает от приложенного к ней напряжения по фазе на тс/2 (рис..1.34, б).
a |
6' |
|
а)
в
Рис. 1.34. Катушки индуктивности L в цепи синусоидального тока (а). Векторная диаграмма й временные графики напряжения и тока.(б), графики индуктивных сопротивления хL и проводимости ЬL (в)
Электротехника и электроника |
|
|
54 |
|
Комплексное сопротивление катушки 'индуктивности: . |
|
|||
• |
l('г' |
+2) |
|
|
И т _ О)LI т |
|
х |
'( 1.78 |
|
|
|
О)L = |
||
где хL = юL — величина, индуктивного, сопротивления, . имеющего
размерность в Омах [Ом].
Сопротивление хг = гвL является линейной функцией частоты w
(рис. 1.34, в) ; при С) = о (постоянный ТОК) оно равно нулю, а c рос-
том (я) линейно .возрастает. Физический смысл индуктивного сопро- ,
•тивления - противодеЙствие прохождению тока за счет ЭДС само-
индукции.. еL , возникающей в катушке индуктивности при
прохождении по ней переменного тока и направленной навстречу приложенному к ней напряжению (1.77).
Проводимость индуктивной катушки обратно пропорциональна частоте с, (рис. 1.34, в), при с = 0 (постоянный ток) она равна бес-
конечности, т. e. ее можно заменить проводником без сопротивления. Комплексная проводимость индуктивного сопротивления:
|
|
У -= |
I |
1_ |
_ - |
1. |
1 ^ —'Ь |
(1.79) |
||
|
|
|
- |
-]' |
||||||
|
|
|
|
|
|
jo)L |
L |
`^ L ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
b = |
1 -- |
|
|
|
|
|
|
. |
(1.80) |
|
где L |
Сом |
|
величина индуктивной проводимости, |
|||||||
измеряемая в сименсах [См]. .
Из (1.78) и (1.79) видно, что комплексное сопротивление и ком-
плексная проводимость катушки индуктивности являются мнимыхми величинами, т. e: чисто реактивными.
'7.2.33. Koндeнcamop eмкocmъю C в цепи cuнycouдaлънoгo moкa
Если к конденсатору емкостью C (рис. 1.35, a) приложено 'коси |
|
напряжение: |
нусоидльное |
ц(l) = Um S1ri ((Ы f Цfu ), |
(1.81 ) |
то через него потечет ток:
i(l) = Im S111 ((l)t -h ц/i ) . |
(1.82) |
Ток через конденсатор можно выразить через производную кoличecтвa электричества на его oбклaдкax:
dq = d(CU) = wcum cos ^ШC +wu) at dt
55 |
Глава 1. Электрические и магнитныё цепи |
|
a
в
Рис. '1.35. Конденсатор емкостью 'С в цепи синусоидaльного tока (а),
векторная диаграмма и времённыё графики напряжения и тока (б), графики емкостных сопротивления хС и проводимости Ьc (в)
т |
S^n ((Оt+' |
1Г и +) |
(1.83) |
|
"' |
|
|
где i,,. = с CU, '1 = Ч" |
+ тс/2 или ф =2-/2, т. e. ток через конденса- |
||
тор опережает приложенное к нему напряжение по .фазе тт/2' (рис.
1.35, б}.
Комплексное сопротивление конденсатора:
Uт |
Uт е и |
1 |
(1.84), |
|
|
|
— |
--Jx |
|
|
|
|
||
'т о CUme |
j(цИ„+д ) |
]О)С. |
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
где х = 1/о)С — величина емкостного сопротивления, |
(1..85) |
|||
измеряемого в Омах [Ом]; оно обратно пропорционально частоте (рис.', 1.35, в); при со .= о (постоянный ток) оно равно бесконечнос-,
ти, т. 'е'. конденсатор не пропускает постоянный ток; c ростом спи 'оно .
уменьшается. . . ... .( =
. Физический смысл емкостного сопротивления' -- противодей-
ствие напряжению .той разностью потенциалов, которая возникает при заряде конденсатора .. '.
Комплексная проводимость конденсатора:
Электротехника и электроника
У = - Z1 =^с=J J.вс,
U
где Ьc = оС -- вёличина емкостной проводимости (рис. 1.35, в); при w = о она равна нулю, т. е. на постоянном токе ветвь c конденсатором .равносильна разрыву ветви.
. Из .(1.84) и (1.86) видно, что комплексное сопротивление й ком-
плексная проводимость конденсатора являются мнимыми вёличинами, т е. чисто реактивными.
1.23.4. Цепь синусоидального тока
c . последовательным u Параллельным соединением
R,.L и С
Если на вход такой цепи (рис. 1.36., а) подать синусоидальное напря-
жение и(t) = Um sin (о. t +'у1), то по ней пойдет ток i(t) = Im sin (свн +'у1).
Напряжение на резисторе совпадает по фазе c током ('у = ш '), на
индуктивности ('у = у ' + тс/2) опережает, а на емкости отстает
('и = ш' — тс/2) по фазе от тока на 'п/2, поэтому по второму закону
Кирхгофа в комплексной форме можно записать:
Um = UmR + UтL+ ИтС =
UmBeiWг + UтLе.1(цfг+п1 2 ) + ^^CeJ(Иг-^i1 г} ^
Uт= ВТ |
т |
е]Ч ё |
+ L те.1ч', |
1 |
1т е.нч" _ |
|
|
|
]^ 2 |
|
|
||
= (R+ jОL— j (ОС ). |
|
,:(1.87) |
||||
Комплексное сопротивление цепи: |
|
|
||||
|
|
Um |
|
ЛР , |
(1.88) |
|
|
|
|
|
=А+jх=геZ= |
|
|
|
|
|
; ср = arctg х |
|
.2 |
|
где x = хL -- хС = с)L. |
|
^ |
. г = ^R + х2 . |
|||
|
|
соС |
|
R |
|
|
Характер поведения цепи зависит от соотношения величин ин- дуктивного хL и емкостного хС сопротивлений:'
1). хL > хс, (р > о,. ток в цепи отстает от приложенного к ней 'напряжения (рис. 12, б); цель носит индуктивный характер;
2) хL < хс, (р > о, ток опережает напряжение (рис. 1.36, в), цепь носит емкоСтный характер;
57 |
Глава 1. Электрические й магнитные цепи |
|
a
.^ |
R=Q |
в. |
г Q |
Рис. 1.3б. Электрическая цепь синусоидального напряжения c последо-
вательным соединением R, 4 .С.(а).. и векторные диаграммы для ср>0 (б), . (р<О (в), .ф=О (е).
3) zL = хс; ф = 0, ток совпадает с напряжением (рис. 1.36, г); цепь
носит характер активного сопротивления, a по отношению к входным зажимам эквивалентна цепи; содержащей только резистор R; при этом амплитуда. тока в цепи; ; .
1т ".
больше, . чем в случаях 1) и. 2) ; где. она равна .
.1т . -: R2 +х2 , .
Электpотехника и электроника |
58 |
a напряжения на индуктивности L и на емкости могут достигать
значений, существенно больших, чем входное. напряжение. Такое
явление называют резонансом напряжений, a резонансная частота (О .полностью определяется параметрами его реактивных элементов из условия, что ..
|
|
- |
(00С |
|
|
|
(1.8 9) |
|
|
|
|
|
|
. |
|
'т. е. .со° -- |
1 |
|
;)^ ^- |
• |
. ^ |
, |
(1.90) |
LC ^ |
. |
|
^ :
1
На частотах со < (О' полное сопротивление последовательного колебатёльного контура носит емкостный характер, 'а на' частотах н) > сво -- индуктивный. Когда частота сигнала совпадает с ' резонансной частотой СО, говорят,. что контур настроен. на частоту сигнала; когда О) ^ % контур расстроен; расстроика контура тем сильнеe, чем больше его реактивное сопротивление x, .и равна .нулю, если x = 0.
Сопротивление индуктивности или емкости контура при резонансе называется волновым или характеристическим сопротивлением контура ('1.89): -
,. |
С |
|
(1.91) |
|
. |
||
Оно не зависит от . частоты и определяется только параметрами |
|||
его реактивных элементов L и C. |
!, |
. |
|
Напряжения на реактивных элементах контура при резонансе |
||||
равны по амплитуде и обратны по фазе (рис. 1.36, г) : |
|
|||
( UnL )р w jО)0 L=I.т |
JJЁUт =IIт е |
г. |
||
|
|
R. |
R |
|
(UTC )Q = ,(0р С |
|
1 |
Um - R Uт е 2 . |
|
',^ с)рСА |
||||
Они тем больше, чем. больше волновое 'сопротивление p. Если p » R, то они значительно превышают напряжение источника Um :
(UтL )о = (UтС )о = (00 L = I = р
Um Um |
R w0R С А. |
|
Эта величина ' определяет эффективность или качество контура,
называется его добротностью и, например, в радиотехнических контурах достигает. значения Q : 200--500. Величина, обратная Q, называется затуханием контура: .
59 |
•r |
Глава 1. Электрические и магнитные цепи |
1 . R
Пример: Найти резонансную частоту последовательного колеба- '
тельного. контура и напряжение на=его емкости при резонансе, eсли
напряжение входного сигнала U. 10 мВ, a параметры элементов:
R -5 ом; г, - 1 мг; с=з6опф.
Решение. .
Резонансная частота контура:
f0 = |
6,28J10'3 .360.10 1 |
= 266 кГц. |
|
|
|
2л LC |
г |
|
|
Добротность контура:. |
|
|
||
Q |
о)oL _ 2тi•2Бб •10з •i • 10iз |
. |
|
|
R |
5 |
|
||
|
|
|
||
Напряжение на емкости: |
|
|
||
(U)0 = QUm = 334•10.•10 =3,34 В. |
, |
|||
Последовательный колебательный контур широко применяется вразличных электро- и радиотехнических схемах и устройствах главным образом в качестве резонансной системы, т. e. системы, «усиливающей в Q раз гармонические колебания, поступающие на
ее вход. На рис. 1.37, a, б : показаны входные цепи радиоприемни-
ков, которые при определенных условиях эквивалентны последова-• тельному контуру, содержащему источник ЭДС .
дгА
е(t).= М дн ,.
Ант.
a |
^б |
Рис. 1.37. Входные цепи радиоприемников
Электротехника и электроника .
где 1А -- мгновенный ток в антенне; М -- коэффициент взаимной индукции катушки L колебательного контура c катушкой LA •антенного контура; настройка колебательного контура на резонанс производится либо изменением. емкости c конденсатора переменной.
емкости, либо изменением индуктивности L катушки переменной индуктивности. .
На рис. 138 приведена упрощенная схема прибора для измерения частоты (частотомера') по максимуму тока в амперметре A или через входное сопротивление осциллографа, включаемые в контур; настройка контура в резонанс производится c помощью конденсатора переменной емкости; на валике его ротора обычно крепится отградуированная шкала частот.
Шкала
частот
Рис. 1.38. Упрощенная схема частотомера
Последовательный контур используется также для селекции (раз- . деления) сигналов по частоте (рис. 1.39). Если вы сокодобротный контур Ln -- С„ настроить на частоту псво (рис. 1.39, а), то для сигнала этой частоты его сопротивление будет близко к нулю и сигнал. c этой частотой на выходе схемы практически будет отсутствовать. Наоборот, для выделения сигнала нужной частоты псво вьтсокодоб-
ротный контур включают на вьтходе (рис. 1.39, б) и выходное напряжение снимают c одного из элрментов (обычно -- c. емкости); в мо-
мент резонанса оно достигает максимальной величины на частоте по, a сигналы других гармоник практически будут отсутствовать,
так как контур для них представляет большое сопротивление (зату-
хание d = 1/Q велико).
Физику процессов в колебательном контуре легко понять, исходя .из рассмотрения энергетических соотношений. Пусть при резонансе в контуре протекает ток: .
. i(t) = Im сов соон, тогда на емкости действует напряжение:
U (t)U cos (о' -- -) =- U |
sin % |
t. |
|
2 |
тс_ |
^о |
|
Энергтя магнитного поля катушки индуктивности