64 лекции по математике кн1

Рис. 5.10

Отметим следующие важные свойства проекции векторов.

Свойство 1. Проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось (см. рис. 5.11 и 5.12). Точки A1, B1 и C1 – проекции точек A, B и C на осьL.

C L

C1

A

A1 B

Рис. 5.11

AC = AB + BC

41

Рис. 5.12

Свойство 2. Если вектор умножается на число, то его проекция умножается на это же число

ПрL (ka) = k ПрLa .

42

Лекция 6.Системы координат

6.1. Линейная комбинация векторов. Выше вектор был определен как геометрический объект – направленный отрезок. Перейдем теперь к эквивалентному его описанию в виде упорядоченного набора чисел. Для этого дадим следующие определения.

Линейной комбинацией векторовa1, a1,…, am с коэффициентами k1, k2 ,…,km называется вектор вида

m

k1a1 + k2a2 +…+ kmam = ∑kiai .

i=1

Линейная комбинация называется тривиальной, если все ее коэффи-

циенты равны нулю. Будем говорить, что вектор b выражается в виде ли-

нейной комбинации векторов a1, a1,…, am , если он представим в виде

m

bkiai .

i=1= ∑

Теорема. Любой вектор a на плоскости единственным образом представим в виде линейной комбинации двух данных неколлинеарных векто-

ров e1 и e2 этой плоскости.

Доказательство. Поместим начала всех трех векторов в некоторую точку O (см. рис. 6.1). Из конца вектора a проведем прямые, параллель-

ные векторам e1 и e2 , и обозначим через P и Q точки их пересечения с

осями, «проходящими» через векторы e1 и e2 , соответственно. По прави-

Qa

e2

Если хотя бы один из коэффициентов при векторах e1 и e2 , не равен нулю, то отсюда будет следовать их коллинеарность, что противоречит предположению. Таким образом, указанное представление единственно.

Теорема. Любой вектор a в пространстве единственным образом представим в виде линейной комбинации трех данных некомпланарных

векторов e1 , e2 и e3 .

Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству предыдущей теоремы (см. рис.6.2)

Введем свойство линейной зависимости векторов, обобщающее свойства коллинеарности и компланарности на случай произвольного чис-

ла векторов. Векторы a1, a1,…, am называются линейно зависимыми, если хотя бы один из них выражается в виде линейной комбинации остальных, то есть

i=1(i≠ j)

В противном случае эти векторы называются линейно независимыми. Из этих определений следует, что любые два коллинеарных вектора

любые три вектора на плоскости также линейно зависимы. Таким образом, приведенные выше теоремы можно переформулировать следующим образом: любой вектор на плоскости единственным образом представим в виде линейной комбинации двух заданных линейно независимых векторов, а

44

любой вектор в пространстве – в виде линейной комбинации трех заданных линейно независимых векторов.

Возможность такого представления любого вектора приводит к мысли определять вектор и его положение набором коэффициентов его линейной комбинации. Естественно возникают задачи определения положения вектора и его длины через этот набор коэффициентов. Эти задачи решаются с помощью операции скалярного умножения векторов.

6.2. Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Базисом

{e1,e2,e3} называются взятые в определенном порядке линейно независимые векторы. Термин базис (гр. basis – основание) отражает тот факт, что через эти векторы можно выразить любой вектор. Если базисные векторы взаимно перпендикулярны, то базис называется ортогональным, а если плюс к этому базисные векторы имеют единичную длину, то – ортонормированным.

Выражение данного вектора a в виде линейной комбинации базисных векторов называется его разложением в данном базисе (или по базису):

a = { a1,a2 ,a3} .

Таким образом, теперь вектор – это упорядоченная тройка чисел (на плоскости – пара чисел).

Операции над векторами в координатной форме

•a + b = { a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3};

•λ a = { λa1, λa2, λa3,}

непосредственно следуют из определения. Например,

45

Условие коллинеарности двух векторов «в координатах» получается

bi = λ ai i, т.е. их соответствующие координаты пропорциональны:

b1 = b2 = b3 . a1 a1 a3

6.3. Декартова система координат. Декартовой системой координат называется совокупность фиксированной точки O (начала координат)

ибазиса векторов {e1,e2,e3}, исходящих из точки O . Оси, проходящие че-

рез базисные векторы, называют соответственно осью абсцисс (ось Ox), осью ординат (ось Oy ) и осью аппликат (ось Oz ). Плоскости, проходящие через две какие-либо оси, называют координатными плоскостями.

Если базис ортогональный, то такая система координат называется

декартовой прямоугольной системой координат. В ортонормированном

базисе единичные базисные векторы принято обозначать через i , j, k .

Радиус-вектором произвольной точки M называют вектор OM , а его координаты называют координатами этой точки. Если даны координа-

Для произвольной точки M в декартовой системе координат с ортонормированным базисом в разложении вектора

Ox, Oy, Oz , соответственно (см. рис. 6.3).

46

k γ

β y

i

P

Q

Рис.6.3

Обозначим через α, β, γ углы между положительными направле-

ляются косинусами углов, которые этот вектор образует с осями коорди-

нат, то есть

e ={cosα, cosβ, cosγ}.

В связи с этим координаты единичного вектора называют направляющими косинусами этого вектора.

Длина вектора может быть найдена по теореме Пифагора: из двух прямоугольных треугольников OMQ и OPQ следует, что

|OM |= x2 + y2 + z2 .

Таким образом, углы, которые вектор образует с осями координат, связаны следующим соотношением

e 2 = cos2 α + cos2 β + cos2 γ =1.

6.4.Полярная система координат. Кроме декартовой, возможны и другие системы координат. Рассмотрим полярную систему координат.

47

Рис. 6.4

Тогда положение произвольной точки M на плоскости можно однозначно

охарактеризовать двумя числами (r,ϕ), где r =|OM | – расстояние этой

точки от полюса и ϕ – угол между полярной осью и вектором OM , отсчитываемый от полярной оси против часовой стрелки (см. рис. 6.4).

Выберем на плоскости две системы координат – декартову прямоугольную и полярную – так, что полюс находится в начале декартовой системы координат, а полярная ось направлена вдоль положительного направления оси абсцисс. Тогда любая точка M будет иметь декартовы координаты (x, y) и полярные (r,ϕ). Из рис. 6.4 непосредственно следуют соотношения между полярными и декартовыми координатами (предполагается, что линейный масштаб одинаковый в обеих системах координат)

В полярной системе координат удобнее изображать кривую, расстояние точки которой от начала координат (полюса) определяется как функция направления (полярного угла). Например, так называемая «спираль Архимеда» определяется следующим образом: расстояние её точки до полюса пропорционально величине угла между полярной осью и радиу- сом-вектором этой точки. В соответствии с этим запишем уравнение этой кривой в полярной системе координат

r = a ϕ, a > 0

и построим ее график Спираль Архимеда можно рассматривать как траекторию движения точки, равномерно перемещающейся вдоль прямой, в

48

то время как эта прямая равномерно вращается против часовой стрелки относительно полюса. На рис. 6.5 приведена часть этой спирали, соответствующая изменению полярного угла в пределах одного оборота.

Рис. 6.5

49

Лекция 7. Скалярное произведение

7.1. Скалярное произведение двух векторов. Скалярным произве-

дением векторов a и b называется число, равное произведению модулей

этих векторов на косинус угла между ними< a,b > =| a | | b | cosϕ

b

ϕ

a

Рис. 7.1

Под углом между двумя векторами будем понимать наименьший из двух углов между ними.

Обратим внимание на то, что результат этой операции может быть выражен через проекцию одного из векторов на другой. Действительно, так как

Прab =|b|cosϕ , Прb a =| a|cosϕ ,

то (см. рис. 7.2)< a,b > =|a| Прa b =|b | Прb a

Прba b

ϕ

Праb a

Рис. 7.2

С этой операцией в физике связано вычисление работы силы F при пе-

ремещении материальной точки по направлению вектора S , когда угол между этими векторами равен ϕ . Тогда работа вычисляется по формуле

50