64 лекции по математике кн1

Раздел 3. Аналитическая геометрия. Прямые и плоскости

Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Любая точка на плоскости однозначно определяется упорядоченной парой чисел – ее декартовыми координатами. Также и вектор на плоскости задается парой своих декартовых координат. В этой и ближайших лекциях мы получим аналитические представления для таких геометрических объектов, как прямая на плоскости, плоскость и прямая в пространстве.

9.1. Общее уравнение прямой.Пусть на плоскости с декартовой прямоугольной системой координат проведена прямая L, и мы хотим получить уравнение, связывающее координаты любой точки, принадлежащей этой прямой.

y

L N

M0 M

x

O

Рис. 9.1

Для этого зафиксируем какую-нибудь точку M0 (x0, y0 ) Lи возьмем вектор N ={ A,B} , перпендикулярный (ортогональный, нормальный) к этой прямой L. Очевидно, что для произвольной точки M(x, y) L векторы

M0M = { x − x0; y − y0} и N перпендикулярны, т.е. их скалярное произведение обращается в ноль< N,M0M > = 0или в координатах

A(x − x0 ) + B(y − y0 ) = 0 (9.1)

Таким образом, уравнение (9.1) – уравнение прямой L, проходящей через заданную точку M0 (x0 , y0 ) перпендикулярно заданному вектору

N ={ A,B}.

Раскрывая в (9.1) скобки, получим уравнение

65

где для краткости обозначено C = −Ax0 − By0 .

Уравнение (9.2) называют общим уравнением прямой на плоскости. Обратим внимание, что уравнение прямой на плоскости является линейным уравнением относительно переменных x и y , а коэффициенты при

них – соответствующие координаты нормального к этой прямой вектора

N = { A,B} .

Обратно, покажем, что уравнение вида (9.2)определяет прямую на плоскости и построим эту прямую. По данным числам A и B образуемвектор N = { A,B} и введём векторr = { x, y}. Тогда уравнение (9.2) мож-

но представить в виде < N,r > +C = 0или| N | ПрN r = −C .Отсюда

Пр N r = −C| N |,

т.е. все радиус-векторыr = { x, y}, координаты которых удовлетворяют уравнению (9.2),имеют одну и ту же проекцию на фиксированный вектор N = { A,B}. Это означает, что точкиM( x,y ) принадлежат прямой, перпендикулярной вектору N = { A,B} и отстоящей от начала координат на расстояние | p |, где

Отсюда следует алгоритм построения прямой по заданному уравнению (9.2). Через начало координат проведем прямую в направлении вектора

воположном направлении, если p < 0. Через конец Pэтого отрезка проводим перпендикулярно ему требуемую прямуюL.

y

N

P

p

M(x, y) x

O

L

Рис. 9.2

66

Построение прямой производится гораздо проще, если воспользоваться так называемым уравнением прямой в отрезках

где (a,0) и (0,b) – точки пересечения прямой Lс осями абсцисс и ординат, соответственно.

Действительно, из (9.2) следует Ax + By = −С и далее, предполагая, что A ≠ 0,B ≠ 0,C ≠ 0 (т.е. прямая не проходит через начало координат и не параллельна координатным осям) и разделив обе части этого уравнения на

−C , получим уравнение (9.3), в котором a = − C и b = − C величины от-

A A

резков, которые прямая«отрезает» от осей координат (см. рис. 9.3).

y

L

b

x

aO

Рис. 9.3

9.2.Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Иногда уравнение прямой удобно представить в другом виде. Пусть прямая L пересекает ось ординат в точке (0,b) и образует с положительным направлением оси абсцисс уголα , тангенс которого обозначим через k = tgα.

67

Из рисунка следует, что для любой точки M(x, y) L выполняется равенство

y − b = tgα = k , x

из которого следует уравнение прямой с угловым коэффициентом

подставляя в (9.4), получим уравнение прямой с угловым коэффициентом k , проходящей через заданную точку, в виде

Заметим, что меняя в уравнении (9.5) величину k , мы получим множество прямых, проходящих через данную точку. Это множество прямых называется пучком прямых, проходящих через заданную точку.

9.3. Параметрические и канонические уравнения прямой. Уравнение прямойL можно получить, задавая точку M0 (x0 , y0 ) и её направ-

ляющий векторS = {m,n} (см. рис. 9.5).

SM

L

M0

Рис. 9.5

Пусть M(x, y) L– произвольная точка. В силу коллинеарности векторов

Это так называемые параметрические уравнения прямой. Ясно, что при изменении значения параметра t в пределах от −∞ до +∞ точка M (x, y)

68

«пробегает» всю прямую L. Очевидно, что точке M0 (x0 , y0 ) соответствует значение параметра t = 0. Исключая из этих уравнений параметрt , получим канонические уравнения прямой на плоскости

mn

Вчастности, если одна из координат направляющего вектора равна

нулю, например, S = {m,0}, то получаем уравнение прямой y = y0 .

В качестве следствия из уравнения (9.7) получим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M1(x1, y1) и M2 (x2, y2 ). Как известно, прямая определяется двумя своими точками. Нетрудно понять, что вектор

{ }

M1M 2 = x2 − x1; y2 − y1

можно считать направляющим вектором данной прямой. Отсюда получим

уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

69

Лекция 10. Прямые линии на плоскости

10.1. Взаимное расположение двух прямых. Пусть сначала две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом:

y = k1x + b1, y = k2 x + b2 .

Найдем наименьший положительный угол ϕ между прямыми L1 иL2 .

yL2

ϕ

L1

Ox

угольника равен сумме внутренних углов, с ним не смежных). Отсюда следует, чтоϕ = α2 − α1 ,

этого угла может быть и отрицательным, то угол ϕ между прямыми равен

70