Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1308 вузов, 5223 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

64 лекции по математике кн1

.pdf
Скачиваний:
1301
Добавлен:
08.04.2015
Размер:
6.76 Mб
Скачать
☆

известных

и подставляя их в исходную функцию, мы получаем задачу

отыскания

безусловного экстремума функции меньшего (n − m) числа

переменных. Если задача разрешения уравнений связи не вызывает трудностей, то так и следует поступать. Но весьма часто это либо трудоёмкая задача, либо принципиально неразрешимая (вспомним, что не всегда можно перейти от неявного задания функции к её явному заданию).

39.2. Метод множителей Лагранжа. Представляется важным найти некоторую универсальную формулировку необходимых условий условного экстремума. Такая формулировка была предложена французским учёным Лагранжем (1736–1813 гг.).

Пусть требуется найти экстремумы функции u = f (x1,x2,...,xn),

причём её n аргументов подчиненыm уравнениям связей ( m < n ) :

 

gk (x1,x2, ...,xn) = 0, k =1,...,m.

Введём m

так называемых неопределённых множителей Лагранжа

λ1,λ2 , ,λm

и образуем функцию Лагранжа

 

F = f + λ1g1 + λ2g2 + ...+ λmgm .

Эта функция зависит от n+mпеременных: для нее необходимые условия экстремума

∂ F = 0,…,

∂ F

= 0,

∂ F

= 0,…,

∂ F

 

∂λ

∂λ

∂ x

∂ x

 

1

n

1

 

m

x1,... , xn , λ1 ,..., λm . Запишем

= 0.

(39.1)

Заметим, что последние m уравнений в (39.1) совпадают с уравнениями связей. Оказывается, что необходимые условия экстремума функции Лагранжа являются одновременно необходимыми условиями условного экстремума исходной функции.

Чтобы в какой-то мере «оправдать» метод множителей Лагранжа ограничимся нахождением экстремума функции двух переменных с одним уравнением связи. Допустим, что уравнение связи g(x, y) = 0 изображается гладкой кривой, т.е. кривой, в каждой точке которой существует касательная. Мы должны найти экстремум функции z = f (x, y) , когда точки (x, y) лежат на этой кривой. Двигаясь вдоль кривой g(x, y) = 0 , например,

281

слева направо, мы

последовательно

пересекаем

линии уровня

f (x, y) = C . В точке

(x0 , y0 ), где кривая

g(x, y) = 0

касается одной из ли-

ний уровня f (x, y) = C* , следует ожидать максимума, т.к. при переходе через эту точку возрастание C сменяется убыванием.

grad f

gradg

(x0 , y0 )

g(x, y) = 0

f (x, y) = C

Рис. 39.2

Тогда нормальные векторы в этой точке к кривой g(x, y) = 0 и к соответ-

ствующей линии уровня

f (x, y) = C* коллинеарны. Эти векторы являются

градиентами функций f

и g в точке касания:

 

∂ f (x0,y0 );

 

 

∂x

 

 

 

 

∂ g(x ,y

 

)

;

 

0

0

 

 

∂x

 

 

 

∂ f (x0 , y0 )

=

{fx′; fy′}

∂ y

 

 

∂ g(x0 , y0 )

=

{g′x; g′y}

∂ y

 

 

 

 

f ′

=

fy′

= −λ

Из условия коллинеарности этих векторов

x

 

g′

g′

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

следуют равенства

 

 

 

 

 

fx′ + λ g′x = 0

 

 

 

 

f ′ + λ g′ = 0 (39.2)

 

y

y

 

 

 

 

Таким образом, условия (39.2) выражают необходимые условия условного экстремума. Образовав функцию Лагранжа

F(x, y,λ) = f (x, y) + λ g(x, y),

убеждаемся, что условия (39.2) совпадают с необходимыми условиями экстремума этой функции.

282

Пример. Найти экстремумы функции f (x, y) = x2 + y2 при условии, что её аргументы связаны соотношением5x2 − 6xy + 5y2 − 32 = 0.

Образуем функцию Лагранжа

F(x, y,λ) = x2 + y2 + λ( 5x2 − 6xy + 5y2 − 32).

Приравнивая к нулю её частные производные, получаем следующую систему для нахождения координат стационарных точек

 

x + λ(5x − 3y) = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y + λ(−3x + 5y) = 0

 

 

5x

2

− 6xy +

5y

2

− 32

= 0

 

 

 

Исключаем из первых двух уравнений параметр

λ, разделив одно из них

на другое

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k = −3+ 5k ,

k =

y0

.

 

 

 

 

 

5− 3k

 

 

 

x0

 

Откуда k = ±1 или y0 = ±x0 . Третье уравнение системы даёт возмож-

ность найти конкретные значения координат стационарных точек. В случае

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y0

= x0 находим точки ( 2

 

2; 2 2; − 0,5 ), ( − 2

2; − 2

 

2; − 0,5 ). А если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y0

= −x0 , то получаем точки

( 2; − 2; −1 8 ), (−

2;

 

2; −1 8 ) .

 

Мы не касаемся вопроса о достаточных условиях экстремума в об-

щем случае. Его исследование завело бы нас слишком далеко. Как и в случае безусловного экстремума, в практических приложениях обыкновенно заранее известно, что экстремум существует и каков его характер. Так, например, если на нашу задачу посмотреть с геометрической точки зрения (см. рис. 39.3), то мы находим на эллипсе

5x2 − 6xy + 5y2 − 32 = 0

точки, наиболее удалённые от начала координат и наиболее близкие к нему, т.к. функция

f (x, y) = x2 + y2

это квадрат искомого расстояния.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно, что в точках

A (2 2; 2 2 ) и

B (−2

2; − 2 2 ) дости-

гается максимум fmax = OA = OB = 4, и отрезок

AB = 8

это большая ось

 

283

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

эллипса. В точках C ( 2; − 2 )и D (−

2;

2 ) расстояние от начала ко-

ординат до точек эллипса минимально

fmin

= OC = OD = 2, и отрезок

CD = 4 является малой осью эллипса. Более того, мы знаем направление осей эллипса. Большая ось эллипса образует угол α = 450 с осью абсцисс.

Таким образом, в системе координат

x1Oy1 уравнение эллипса имеет вид

 

 

 

x2

 

y2

 

 

 

1

 

+

1

=1 .

16

 

4

 

 

 

Решая задачу на условный экстремум, мы «попутно» привели уравне-

ние эллипса 5x2 − 6xy + 5y2 − 32 = 0

к каноническому виду.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

x

C

B

Рис. 39.3

284

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности