64 лекции по математике кн1
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
В.П. Важдаев, М.М. Коган, М.И. Лиогонький, Л.А. Протасова
64 ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ
Книга 1 (лекции 1-39)
Утверждено редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Нижний Новгород ННГАСУ 2012
Лекции по математике в двух книгах написаны преподавателями кафедры математики Нижегородского государственного архитектурностроительного университета для студентов различных «нематематических» специальностей:будущихинженеров-строителей, экологов, экономистови других. Первая книгавключает в себя основные понятия и методы линейной алгебры, аналитической геометрии, математического анализа, дифференциального и интегрального исчислений.
Лекции по математике в двух книгах написаны преподавателями кафедры математики Нижегородского государственного архитектурностроительного университета для студентов различных «нематематических» специальностей: будущих инженеров-строителей, экологов, экономистов и других. Вторая книга включает в себя основные понятия теориидифференциальных уравнений, кратные и криволинейные интегралы, теорию рядов, а также элементы теории множеств, теории графов и математической логики.
Важдаев Виктор Петрович Коган Марк Михайлович Лиогонький Марк Израилевич Протасова Людмила Анатольевна
Содержание |
|
Введение...................................................................................................................... |
8 |
Раздел 1. Матрицы и системы линейных уравнений |
|
Лекция 1.Введение в матричную алгебру |
|
1.1. Основные понятия ........................................................................................... |
10 |
1.2. Сложение матриц и умножение на число ..................................................... |
10 |
1.3. Умножение матриц ......................................................................................... |
11 |
1.4. Матрицы и линейные преобразования .......................................................... |
12 |
Лекция 2.Правило Крамера и определители матриц |
|
2.1. Системы двух уравнений с двумя неизвестными ........................................ |
16 |
2.2. Системы трех уравнений с тремя неизвестными ......................................... |
19 |
Лекция 3.Системы и определители матриц n -го порядка |
|
3.1. Матричная запись системы линейных уравнений ....................................... |
22 |
3.2. Определители матриц порядка n и их свойства ........................................ |
23 |
3.3. Обратная матрица ........................................................................................... |
27 |
Лекция 4. Системы m уравнений с n неизвестными |
|
4.1. Ранг матрицы ................................................................................................... |
31 |
4.2. Теорема Кронекера-Капелли ......................................................................... |
31 |
Раздел 2. Векторная алгебра |
|
Лекция 5.Векторы и линейные операции над ними |
|
5.1. Основные понятия и определения ................................................................. |
36 |
5.2. Линейные операции над векторами .............................................................. |
36 |
5.3. Проекция вектора на ось ................................................................................ |
39 |
Лекция 6.Линейная комбинация векторов. Системы координат |
|
6.1. Линейная комбинация векторов .................................................................... |
43 |
6.2. Разложение вектора по базису. Координаты вектора .................................. |
45 |
6.3. Декартова система координат ........................................................................ |
46 |
6.4. Полярная система координат ......................................................................... |
47 |
Лекция 7.Скалярное произведение |
|
7.1. Скалярное произведение двух векторов ....................................................... |
50 |
7.2. Скалярное произведение в прямоугольных координатах ........................... |
52 |
7.3. Деление отрезка в заданном отношении ....................................................... |
54 |
Лекция 8.Векторное и смешанное произведения векторов |
|
8.1. Векторное произведение ................................................................................ |
56 |
8.2.Смешанное произведение ............................................................................... |
60 |
Раздел 3. Аналитическая геометрия. Прямые и плоскости |
|
Лекция 9.Прямая линия на плоскости |
|
9.1. Общее уравнение прямой ............................................................................... |
65 |
9.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом ............................................ |
68 |
9.3. Параметрические и канонические уравнения прямой ................................. |
68 |
3 |
|
Лекция 10. Задачи, связанные с прямыми на плоскости
10.1. Взаимное расположение двух прямых ........................................................ |
70 |
10.2. Пучок прямых, определяемый двумя пересекающимися прямыми ........ |
74 |
10.3. Расстояние от точки до прямой ................................................................... |
74 |
10.3Линейные неравенства .................................................................................... |
76 |
Лекция 11.Плоскость
11.1. Различные виды уравнения плоскости ....................................................... |
78 |
11.2. Взаимное расположение двух плоскостей .................................................. |
82 |
11.3. Расстояние от точки до плоскости .............................................................. |
84 |
Лекция 12. Прямая линия в пространстве
12.1. Различные виды уравнений прямой ............................................................ |
86 |
12.2. Проекция точки на прямую и |
|
расстояние от точки до прямой в пространстве .................................................. |
90 |
12.3.Пересечение прямых в пространстве ........................................................... |
91 |
12.4. Расстояние между двумя прямыми ............................................................. |
93 |
Лекция 13. Взаимное расположение прямых и плоскостей
13.1. Угол между прямыми ................................................................................... |
95 |
13.2. Угол между прямой и плоскостью .............................................................. |
96 |
13.3. Пересечение прямой с плоскостью ............................................................. |
98 |
Лекция 14.Другие задачи о прямых и плоскостях ........................ |
100 |
Раздел 4. Математический анализ. Дифференциальное исчисление Лекция 15.Функция
15.1. Функция и способы её задания .................................................................. |
106 |
15.2. Обратная функция ....................................................................................... |
107 |
15.3. Предел последовательности ....................................................................... |
109 |
Лекция 16.Свойства пределов. Второй замечательный предел
16.1. Свойства сходящихся последовательностей ............................................ |
111 |
16.2. Второй замечательный предел ................................................................... |
115 |
16.3. Раскрытие неопределённостей .................................................................. |
116 |
Лекция 17.Предел функции. Непрерывность
17.1. Предел функции .......................................................................................... |
119 |
17.2. Первый замечательный предел .................................................................. |
121 |
17.3. Непрерывность функции ............................................................................ |
122 |
17.4. Свойства непрерывных функций ............................................................... |
124 |
Лекция 18.Производная
18.1. Физический, геометрический и математический смысл производной .. |
128 |
18.2. Вычисление производных .......................................................................... |
130 |
18.3. Уравнение касательной. Угол между кривыми ...................................... |
132 |
18.4. Правила дифференцирования .................................................................... |
133 |
Лекция 19.Производная (продолжение)
19.1. Дифференцирование сложной и обратной функций ............................... |
135 |
19.2. Дифференцирование функций, заданных параметрически. |
|
Касательная к параметрически заданной кривой ............................................. |
137 |
19.3. Производная функции, заданной неявно. |
|
Касательная к неявно заданной кривой ............................................................. |
139 |
19.4. Логарифмическое дифференцирование .................................................... |
140 |
4 |
|
19.5. Сводка формул производных и правил дифференцирования ................ |
141 |
19.6. Производные высших порядков ................................................................ |
142 |
Лекция 20.Вектор-функция |
|
20.1. Вектор-функция и её задание .................................................................... |
144 |
20.2. Предел, непрерывность и производная вектор-функции ........................ |
145 |
20.3. Уравнения касательной к пространственной кривой и |
|
уравнение нормальной плоскости ...................................................................... |
147 |
Лекция 21.Дифференциал |
|
21.1. Дифференциал функции ............................................................................. |
150 |
21.2. Правило Лопиталя ....................................................................................... |
154 |
Лекция 22.Исследование функций и построение их графиков |
|
22.1. Формула Лагранжа ...................................................................................... |
157 |
22.2. Признак монотонности функции ............................................................... |
158 |
22.3. Экстремумы ................................................................................................. |
159 |
Лекция 23.Исследование функций и построение их графиков |
|
(продолжение) |
|
23.1. Выпуклость .................................................................................................. |
163 |
23.2. Точки перегиба ............................................................................................ |
165 |
23.3. Асимптоты ................................................................................................... |
166 |
23.4. Примерный план исследования функции ................................................. |
169 |
Лекция 24.Кривизна. Приближённое решение уравнений |
|
24.1. Понятие кривизны ....................................................................................... |
171 |
24.2. Вычисление кривизны плоской кривой .................................................... |
171 |
24.3. Геометрический смысл кривизны ............................................................. |
172 |
24.4. Приближённое решение уравнений .......................................................... |
173 |
Раздел 5. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности |
|
второго порядка |
|
Лекция 25. Линии второго порядка
25.1. |
Эллипс .......................................................................................................... |
178 |
25.2. |
Гипербола ..................................................................................................... |
180 |
Лекция 26. Парабола. Приведение кривых к каноническому виду
26.1. Парабола ...................................................................................................... |
185 |
26.2. Вырожденные случаи ................................................................................. |
186 |
26.3. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду |
187 |
26.4. Параллельный перенос осей координат .................................................... |
187 |
26.5. Преобразование поворота системы координат ........................................ |
189 |
Лекция 27.Поверхности второго порядка
27.1. Цилиндрические поверхности ................................................................... |
195 |
27.2. Поверхности вращения ............................................................................... |
197 |
Лекция 28.Канонические уравнения поверхностей |
|
второго порядка |
|
28.1. Эллипсоиды ................................................................................................. |
200 |
28.2. Гиперболоиды ............................................................................................. |
202 |
28.3. Конусы ......................................................................................................... |
205 |
28.4. Параболоиды ............................................................................................... |
206 |
5 |
|
Раздел 6. Математический анализ. Интегральное исчисление Лекция 29.Неопределенный интеграл
29.1. |
Первообразная функция и неопределённый интеграл ............................ |
209 |
29.2. |
Интегрирование методами подстановки и замены переменной ............ |
213 |
Лекция 30.Методы интегрирования (продолжение)
30.1. Интегрирование простейших иррациональностей .................................. |
216 |
30.2. Интегрирование по частям ......................................................................... |
217 |
30.3. Интегрирование тригонометрические выражений .................................. |
218 |
Лекция 31.Комплексные числа
31.1. Введение ....................................................................................................... |
222 |
31.2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел .............................. |
223 |
31.3. Тригонометрическая форма комплексного числа .................................... |
223 |
31.4. Операции над комплексными числами ..................................................... |
224 |
Лекция 32.Решение алгебраических уравнений
32.1. Извлечение корня из комплексного числа ................................................ |
228 |
32.2. Квадратное уравнение ................................................................................ |
230 |
32.3. Разложение многочлена на множители .................................................... |
231 |
32.4. Разложение на простые дроби и интегрирование |
|
дробно-рациональных функций ......................................................................... |
232 |
Лекция 33. Определённый интеграл
33.1. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла ..................... |
235 |
33.2. Понятие определённого интеграла ............................................................ |
238 |
33.3. Существование первообразной функции ................................................. |
239 |
33.4. Формула Ньютона - Лейбница ................................................................. |
240 |
Лекция 34. Вычисление определённого интеграла
34.1. Интегрирование по частям и замена переменной .................................... |
242 |
34.2. Вычисление площади фигуры в полярной системе координат .............. |
245 |
34.3. Вычисление площади фигуры, ограниченной кривыми, |
|
заданными параметрически ................................................................................ |
247 |
Лекция 35. Другие приложения определённого интеграла
35.1. Объём тела с известной площадью поперечного сечения ...................... |
249 |
35.2. Вычисление объёмов тел вращения .......................................................... |
250 |
35.3. Несобственные интегралы ......................................................................... |
251 |
Раздел 7 . Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Лекция 36. Функции многих переменных
36.1. Понятие функции двух переменных |
......................................................... |
256 |
36.2. Предел и непрерывность функции двух .............................переменных |
257 |
|
36.3. Частные производные, производная ........................... |
по направлению |
259 |
Лекция 37.Производные сложных функций
37.1. Дифференцирование сложных функций ................................................... |
263 |
37.2. Вычисление производной по направлению .............................................. |
264 |
37.3. Дифференцирование неявных функций ................................................... |
265 |
37.4. Градиент ....................................................................................................... |
265 |
6 |
|
37.5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности ................................... |
269 |
Лекция 38. Дифференциал и экстремумы функции двух |
|
переменных |
|
38.1. Дифференцируемость функции двух переменных. Дифференциал ...... |
272 |
38.2. Производные и дифференциалы высших порядков ................................ |
275 |
38.3. Экстремумы функции многих переменных .............................................. |
276 |
Лекция 39. Условный экстремум |
|
39.1. Понятие условного экстремума ................................................................. |
280 |
39.2. Метод множителей Лагранжа .................................................................... |
281 |
7
Даже плавая на поверхности океана знаний,можно достичь его глубин.
Френсис Бэкон
Введение
Лекции написаны преподавателями кафедры математики Нижегородского государственного архитектурно-строительного университета (ННГАСУ) для студентов различных «нематематических» специальностей: будущих инженеров-строителей, экологов, экономистов и других. Общий объем материала ограничивался количеством часов, которое отводится изучению математики современными образовательными стандартами этих специальностей, а его «глубина» определялась педагогическим опытом авторов. Лекции изданы в двух книгах, которые содержат материал, излагаемый в ННГАСУ на первом и втором курсах соответственно. По стилю изложения и по структуре это действительно лекции: весь материал разбит на части, излагаемые примерно за полтора часа и расположенные в том порядке (не единственно возможном), который соответствует читаемому в ННГАСУ курсу. Лекции включают в себя основные понятия и методы линейной алгебры, аналитической геометрии, математического анализа, дифференциального и интегрального исчислений, дифференциальных уравнений, теории рядов, а также элементы теории множеств, теории графов и математической логики.
Следует заметить, что существующие классические учебники математики достаточно сложны для студентов нематематических специальностей, а учебные пособия, появившиеся в последнее время, носят, как правило, справочный характер: в них формулируются определения и приводятся соответствующие формулы для вычислений. По мнению авторов, сейчас востребована учебная литература, которая в доступной форме раскрывает содержание основных математических понятий и методов, сочетая математическую строгость и простоту изложения. В соответствии с этим основная задача, которую ставили перед собой авторы, – повысить общую математическую культуру студентов, обучить их простейшим навыкам математического моделирования, развить умение устанавливать причинно-следственные связи и рационально мыслить. Это как раз то, что требуется для эффективной деятельности в любой сфере.
8
Усилия авторского коллектива распределялись следующим образом: доцент В.П. Важдаев и профессор М.М. Коган написали лекции по алгебре, геометрии, функциям одной и нескольких переменных, дифференциальному и интегральному исчислениям, дифференциальным уравнениям, рядам Фурье (лекции 1–24, 29–48, 60,61),доцент М.И. Лиогонький–по криволинейным интегралам, теории рядов, элементам математической логики, теории множеств и теории графов (лекции 54–59, 62–64), доцент Л.А. Протасова – по кривым и поверхностям второго порядка, кратным интегралам (лекции 25–28, 49–53). Рисунки к лекциям выполнили В.П. Важдаев, М.И. Лиогонький,Г.Л. Пугач (кривые и поверхности второго порядка, кратные интегралы). Общее редактирование лекций осуществили В.П. Важдаев и М.М. Коган. Авторы будут благодарны за любую (положительную или отрицательную) «обратную связь»(например, по электронной почте mkogan@nngasu.ru).
9
Раздел 1. Матрицы и системы линейных уравнений
Лекция 1. Введение в матричную алгебру
Теорию матриц можно справедливо считать Арифметикой высшей математики.
Ричард Беллман (1920-1984 гг.)
Матрицы широко применяются в различных разделах математики, физики и других дисциплинах; они находят широкое применение при исследованиях экономических проблем. В матричной записи легко и наглядно обнаруживаются те или иные особенности решаемой задачи, а теория матриц дает инструмент для ее эффективного решения.
1.1. Основные понятия. Таблица чисел вида
a11 |
a12 |
… |
a1n |
|
a |
a |
… |
a |
|
A = … |
… |
|
… |
, |
21 |
22 |
|
2n |
|
|
am2… |
|
|
|
am1 |
amn |
|||
|
|
|
|
|
состоящаяиз m строк и n столбцов, называется матрицей A размера (m× n) |
|
(читается «m » на «n »). Числа m и n не обязаны быть одинаковыми. Если |
|
m = n , то матрица называется квадратной, а число |
n называют её поряд- |
ком. Более компактная форма записи матрицы имеет |
вид |
A =|| aij ||, i =1,2,...,m; j =1,2,...,n ,
где элемент матрицы ai j расположен в i -й строке и j -м столбце. |
||||
Частные случаи: A = (a11 a12 … a1n ) – матрица-строка, |
||||
a11 |
|
|
||
a |
|
|
– матрица-столбец. |
|
A = |
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
am1 |
|
|
||
Понятие равенства двух матриц естественно вводится для матриц одинаковых размеров. Две матрицы называются равными, если равны их соответствующие элементы:
A = B || aij ||=||bij || aij = bij , i, j ,
10