5.Теорема Лапласа

Теорема

Пусть - определитель-го порядка. Выберем в нем произвольныестрок (или столбцов), причем. Тогда сумма произведений всех миноров-го порядка, которые содержатся в выбранныхстроках (столбцах), на их алгебраические дополнения равна определителю.

 

Решение. Выберем в данном определителе пятого порядка две строки - вторую и третью, тогда получаем (слагаемые, которые равны нулю, опускаем):

13 . Условие существования нетривиальных решений однородной системы и их нахождение

Однородная система m линейных уравнений относительно n неизвестных нетривиально совместна (имеет ненулевое решение) тогда и только тогда, когда ранг r матрицы системы меньше числа неизвестных: r < n.

Однородная система n линейных уравнений относительно n неизвестных нетривиально совместна тогда и только тогда, когда матрица системы

Система называется однородной, если все ее свободные члены b₁, b₂,...,b_m равны нулю. 

Если определитель матрицы А равен 0, то существует ненулевое решение СЛАУ (достаточное условие)  Докажем это на СЛАУ второго порядка. Возьмем определитель матрицы СЛАУ второго порядка, раскроем его и приравняем к 0. После этого, перенося слагаемое с отрицательным знаком в правую часть и записав результат в виде пропорции, увидим, что коэффициенты в СЛАУ пропорциональны, следовательны, векторы, имеющие координатами эти коэффициенты (то есть а=(а11, а12) и а=(а21, а22)), линейно зависимы. Следовательно, существует пара x1 и x2, неравные 0 одновременно, то есть ненулевое решение х1а1+х2а2=0. Ясно, что а - векторы, координаты которых смотри выше. Теорема доказана.  Есть еще обратная теорема к этой (то есть необходимое условие). Почему обратная - не понимаю. Вот формулировка: если однородная СЛАУ имеет ненулевое решение, то ее определитель равен нулю.  Доказательство: Если бы СЛАУ имела единственное решение, то это решение было бы нулевым (по правилу Крамера). Определитель тогда не равен 0. Но он нулю должен быть равен, значит, решение ненулевое. 

14.Базисные и свободные переменные слау. Фундаментальная система решений

Для системы из уравнений снеизвестными () любыепеременных называютсябазисными, если определитель составленный из коэффициентов при этих неизвестных отличен от нуля (остальные переменных называются свободными).

Базисным решением системы уравнений называется такое решение при котором свободные переменные равны нулю.

Свободная переменная — переменная, которая встречается в теле функции, но которая не является параметром этой функции

Множество решений однородной линейной системы относительно n неизвестных является линейным подпространством пространства Rn.Размерность этого подпространства равна n − r, где r − ранг матрицы системы A.

Любой базис пространства решений однородной системы линейных уравнений называется фундаментальной системой решений однородной системы.

Иначе говоря, любая упорядоченная совокупность n − r линейно независимых решений однородной линейной системы образуетфундаментальную систему решений однородной системы.