9. Метод Краммера

Теорема Крамера. Если определитель матрицы квадратной системы не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

где - определитель матрицы системы,- определитель матрицы системы, где вместо-го столбца стоит столбец правых частей.

Замечание

Если определитель системы равен нулю, то система может быть как совместной, так и несовместной.

Замечание

Данный метод удобно применять для маленьких систем с громоздкими вычислениями, а так же если нужно найти одну из неизвестных. Трудность заключается в том, что необходимо считать много определителей.

Примеры решения систем уравнений

Пример

Задание. Найти решение СЛАУ при помощи метода Крамера.

Решение. Вычисляем определитель матрицы системы:

Так как , то по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители. Определительполучим из определителязаменой его первого столбца столбцом свободных коэффициентов. Будем иметь:

Аналогично, определитель получается из определителя матрицы системызаменой второго столбца столбцом свободных коэффициентов:

Тогда получаем, что

Пример

Задание. При помощи формул Крамера найти решение системы 

Решение. Вычисляем определитель матрицы системы:

Так как определитель матрицы системы неравен нулю, то по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. Для его нахождения вычислим следующие определители:

Таким образом,

10 .Матричный метод решения

Запишем заданную систему в матричном виде:

Если матрица невырождена, то тогда с помощью операций над матрицами выразим неизвестную матрицу. Операция деления на множестве матриц заменена умножением на обратную матрицу, поэтому домножим последнее равенство на матрицуслева:

Поэтому, чтобы найти неизвестную матрицу надо найти обратную матрицу к матрице системы и умножить ее справа на вектор-столбец свободных коэффициентов.

Данный метод удобно применять тогда, когда нужно решить много одинаковых систем с разными правыми частями.

Пример

Задание. Найти решение СЛАУ матричным методом.

Решение. Выпишем матрицу системы и матрицу правых частей. Найдем обратную матрицу для матрицы системы. Для матрицы второго порядка обратную можно находить по следующему алгоритму: 1) матрица должна быть невырождена, то есть ее определитель не должен равняться нулю:; 2) элементы, стоящие на главной диагонали меняем местами, а у элементов побочной диагонали меняем знак на противоположный и делим полученные элементы на определитель матрицы. Итак, получаем, что

Тогда

Две матрицы одного размера равны, если равны их соответствующие элементы, то есть в итоге имеем, что ,

Пример

Решение. Запишем данную систему в матричной форме:

,

где - матрица системы,- столбец неизвестных,- столбец правых частей. Тогда

Найдем обратную матрицу к матрицес помощью союзной матрицы:

Здесь - определитель матрицы; матрица- союзная матрица, она получена из исходной матрицызаменой ее элементов их алгебраическими дополнениями. Найдем, для этого вычислим алгебраические к элементам матрицы:

    

    Таким образом,

Определитель матрицы 

Отсюда искомая матрица