§4. Прямая и плоскость

84. Найти угол прямой y = 3x – 1 , 2z = – 3x + 2 с плоскостью

2x + y + z – 4 = 0.

84. Показать, что прямая параллельна плоскости 2x + y – z = 0, а прямая лежит в этой плоскости.

85. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (–1, 2, –3), перпендикулярно к прямой x = 2, y – z = 1.

86. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую

и точку (3, 4, 0).

84. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую

_,

перпендикулярно к плоскости 2x + 3y – z = 4.

84. Написать уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые и .

85. Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат и составляющей равные углы с плоскостями 4y = 3x, y = 0 и z = 0. Найти эти углы.

86. Найти точку пересечения прямой x = 2t – 1, y = t + 2, z = 1 – t с плоскостью 3x – 2y + z = 3.

87. Найти точку пересечения прямой с плоскостью x + 2y + 3z – 29 = 0.

88. Найти проекцию точки (3, 1, – 1) на плоскость x + 2y + 3z – 30 =0.

89. Найти проекцию точки (2, 3, 4) на прямую x = y = z.

90. Найти кратчайшее расстояние d между непараллельными прямыми: и ; и ;

Указание. Предполагая прямые в общем случае скрещивающимися, нарисуем параллельные плоскости, в которых они расположены. Из точек А(a, b, c) и А₁(a₁, b₁, c₁) проведем векторы = = { m; n; p} и = ₁ = ₁{ m₁; n₁; p₁}. Высота призмы ABCA₁B₁C₁ и равна искомому расстоянию.

84. Показать, что прямые x = z – 2, y = 2z + 1 и

пересекаются, и написать уравнение плоскости, в которой они расположены.

84. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки (2, 1, 0) на прямую x = 3z – 1, y = 2z.

85. Построить плоскость x + y – z = 0 и прямую, проходящую через точки A(0, 0, 4) и B(2, 2, 0). Найти точку пересечения прямой с плоскостью и угол между ними.

86. Построить плоскость y = z, прямую x = – z + 1, y = 2 и найти: 1) точку их пересечения; 2) угол между ними.

87. Найти проекцию точки (3, 1, – 1) на плоскость 3x + y + z – 20 = 0.

88. Найти проекцию точки (1, 2, 8) на прямую .

89. Написать уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые и .

90. Показать, что прямые и x = 3z – 4, y = z + 2 пересекаются, найти точку их пересечения.

91. Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки (1, 0, – 1) на прямую .

92. Найти кратчайшее расстояние между прямыми x = – 2y = z и x = y = 2.

93. Доказать, что прямая x = 3t – 2, y = – 4t + 1, z = 4t – 5 параллельна плоскости 4x – 3y – 6z – 5 = 0.

94. Доказать, что прямая лежит в плоскости

4x – 3y + 7z – 7 = 0.

84. Найти точку пересечения прямой и плоскости:

1. , 2x + 3y + z – 1 = 0;

2. , x – 2y + z – 15 = 0;

3. , x + 2y – 2z + 6 = 0.

84. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M₀(2, – 4, – 1) и середину отрезка прямой

заключенного между плоскостями 5x + 3y – 4z + 11 = 0, 5x + 3y – 4z – 41 = 0.

84. Составить уравнения прямой, проходящей через точку M₀ (2, – 3, –5) перпендикулярно к плоскости 6x – 3y – 5z + 2 = 0.

85. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ (1, –1, –1) перпендикулярно к прямой .

86. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ (1, – 2, 1) перпендикулярно к прямой

87. При каких значениях A и D прямая x = 3 + 4t, y = 1 – 4t, z = – 3 + t лежит в плоскости A x + 2y – 4z + D = 0 ?

88. При каких значениях A и B плоскость A x + By + 3z – 5 = 0 перпендикулярна к прямой x = 3 + 2t, y = 5 – 3t, z = – 2 – 2t ?

89. При каких значениях l C прямая перпендикулярна к плоскости 3x – 2y + Cz + 1 = 0 ?

90. Найти проекцию точки P(2, –1, 3) на прямую x = 3t, y = 5t – 7, z = 2t + 2.

91. Найти точку Q, симметричную точке P(4, 1, 6) относительно прямой

92. Найти точку Q, симметричную точке P(2, –5, 7) относительно прямой, проходящей через точки M₁(5, 4, 6) и M₂(–2, –17, -8).

93. Найти проекцию точки P(5, 2, –1) на плоскость 2x – y + 3z + 23 = 0.

94. Найти точку Q, симметричную точке P(1, 3, – 4) относительно плоскости 3x + y – 2z = 0.

95. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые , .

96. Найти проекцию точки C(3, –4, –2) на плоскость, проходящую через параллельные прямые , .

97. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую x = 3t + 1, y = 2t + 3, z = – t – 2 параллельно прямой

98. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

перпендикулярно к плоскости 3x + 2y – z – 5 = 0.

84. Составить каноническое уравнение прямой, которая проходит через точку M₀(3, –2, –4) параллельно плоскости 3x – 2y – 3z – 7 = 0 и пересекает прямую .

85. Составить параметрические уравнения прямой, которая проходит параллельно плоскостям 3x + 12y – 3z – 5 = 0, 3x – 4y + 9z + 7 = 0 и пересекает прямые , .

86. Вычислить кратчайшее расстояние между двумя прямыми в каждом из следующих случаев:

1. ; ;

2. x = 2t – 4, y = – t + 4, z = – 2t – 1; x = 4t – 5, y = – 3t + 5,

z = – 5t + 5;

3. ; x = 6t + 9, y = – 2t, z = – t + 2.

ОТВЕТЫ

1. Векторы и действия над ними

1. |a| = 7; 2. z =  3; 3. = {– 4; 3; –1}, = {4; –3; 1}; 4. x = , y = 1, z = –1; 5. cos = 12 / 25, cos = – 3 / 5, cos = – 16 / 25; 6. M₁(, , ), M₂(–, –, –); 7. a) , б) | |; 9. r = 7, cos = 2 / 7; 10. M(3, 3, – 3), r = 3(+– ); 11. = 2– 6+ 3, |u| = 7; 12. = – 2 + ; || = , =– 4 – ; || = 3; 13. D (4, 0, 6); 14. = 2– 2;15. a) линейно независимые, б) =/ 2 + 2 / 3, в) линейно зависимые, но вектор неколлинеарен векторами; 16. |–| = 22; 17. Вектор длиннее вектора в три раза; они направлены в противоположные стороны;18.  = 4,  = – 1.

1. Скалярное произведение

1. a) – 6, б) 9, в) 13, г) – 61, д) 73, е) 37; 2. 135; 3. B = C = 45; 4. – 200; 5. 90; 6. = 4/ 3;7. 2; 8. cos(a, m) = 5 / (2);cos(a, n) = – 2 /;9. || = ||; 10. – 3 / 2; 11.  =  3 / 5.