§3. Прямая в пространстве

84. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M₁(2, 0, – 3) параллельно:

1) вектору = {2; – 3; 5};2) прямой ;

3) оси 0x; 4) оси 0y; 5) оси 0z.

84. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через две данные точки:

1) (1, – 2, 1), (3, 1, – 1); 2) (3, – 1, 0), (1, 0, – 3);

3) (0, – 2, 3), (3, – 2, 1); 4) (1, 2, – 4), (– 1, 2, – 4).

84. Составить параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку M₁(1, – 1, – 3) параллельно:

1) вектору = {2; – 3; 4};2) прямой ;

3) прямой x = 3t – 1, y = –2t + 3, z = 5t + 2.

84. Составить параметрическое уравнение прямой, проходящей через две данные точки:

1) (3, – 1, 2), (2, 1, 1); 2) (1, 1, – 2), (3, – 1, 0); 3) (0, 0, 1), (0, 1, – 2).

84. Через точки M₁(– 6, 6, 5) и M₂(12, – 6, 1) проведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой с координатными плоскостями.

85. Даны вершины треугольника A(3, 6, – 7), B(– 5, 2, 3) и C(4, –7, – 2). Составить параметрические уравнения его медианы, проведенной из вершины C.

86. Даны вершины треугольника A(3, – 1, – 1), B(1, 2, – 7) и C( – 5, 14, –3). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине C.

87. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M₁(2, 3, – 5) параллельно прямой

88. Составить канонические уравнения следующих прямых:

1. 

2. 

3. 

84. Составить параметрические уравнения следующих прямых:

1)

2)

84. Доказать параллельность прямых:

1) и

2) x = 2t + 5, y = –t + 2, z = t – 7 и

3) и

84. Доказать перпендикулярность прямых:

1) и

2) и

3) и

84. Найти острый угол между прямыми: и.

85. Найти тупой угол между прямыми x = 3t – 2, y = 0, z = – t + 3 и

x = 2t – 1, y = 0, z = t – 3.

84. Определить косинус угла между прямыми:

и

84. Доказать, что прямые, заданные параметрическими уравнениями x = 2t – 3, y = 3t – 2, z = – 4t + 6 и x = t + 5, y = – 4t – 1, z = t – 4, пересекаются.

85. Даны прямые и. При каком значенииl они пересекаются ?

86. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку M₁(– 1, 2, – 3) перпендикулярно к вектору = {6; – 2; – 3} и пересекает прямую.

87. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку M₁(– , –5, 3) и пересекает две прямые: и.

88. Составить параметрические уравнения общего перпендикуляра двух прямых, заданных уравнениями x = 3t – 7, y = –2t + 4, z = 3t + 4 и x = t + 1, y = 2t – 8, z = – t – 12.

89. Найти следы прямых x = z + 5, y = 4 – 2z и на плоскостяхx0y и x0z и построить прямые.

Указание: Положить в уравнениях прямой 1) z = 0; 2) y = 0.

84. Уравнения прямой x + 2y + 3z – 13 = 0, 3x + y + 4z – 14 = 0 написать: 1) в проекциях; 2) в канонической форме. Найти следы прямой на координатных плоскостях, построить прямую и ее проекции.

85. Написать уравнение прямой, проходящей через точку A(4, 3, 0) и параллельно вектору { – 1; 1; 1} . Найти след прямой на плоскостиy0z и построить прямую.

86. Построить прямую x = 4, y = 3 и найти ее направляющий вектор.

87. Построить прямые: 1) y = 3, z = 3; 2) y = 2, z = x + 1; 3) x = 4, z = y. Определить их направляющие векторы.

88. Написать уравнения прямой, проходящей через точки A(– 1, 2, 3) и B(2, 6, – 2), и найти ее направляющие косинусы.

89. Построить прямую, проходящую через точки A(2, – 1, 3) и B(2, 3, 3), и написать ее уравнения.

90. Написать уравнения траектории точки M(x, y, z), которая, выйдя из точки A(4, – 3, 1), движется со скоростью v{ 2; 3; 1}.

91. Написать параметрические уравнения прямой:

1) проходящей через точку (– 2, 1, – 1), параллельно вектору {1; –2; 3};

2) проходящей через точки A(3, – 1, 4) и B(1, 1, 2).

84. Написать уравнения прямой, проходящей через точки (a, b, c):

1) параллельно оси 0z;

2) перпендикулярно к оси 0z.

84. Найти угол прямой x = 2z – 1, y = – 2z + 1 с прямой, проходящей через начало координат и через точку (1, – 1, – 1).

85. Найти угол между прямыми: x – y + z – 4 = 0, 2x + y – 2z + 5 = 0 и x + y + z – 4 = 0, 2x + 3y – z – 6 = 0 .

Указание: Направляющий вектор каждой из прямых можно определить как векторное произведение нормальных векторов плоскостей =.

84. Показать, что прямая перпендикулярна к прямойx = z + 1, y = 1 – z.

85. Написать уравнения прямой, проходящей через точку (– 4, 3, 0), параллельно прямой x – 2y + z = 4, 2x + y – z = 0.

86. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки (2, – 3, 4) на ось 0z.

Указание: Искомая прямая проходит еще через точку (0, 0, 4).

84. Найти расстояние от точки M(2, – 1, 3) до прямой .

Указание: Точка A(– 1, – 2, 1) лежит на прямой; {3; 4; 5} – направляющий вектор прямой. Тогда

d = AM sin = .

84. Найти расстояние между параллельными прямыми

и .