chirskii-lectures-4sem

рассматриваемой

точке

имеют

вид:

n

− z′x

,

− z′y

,

1

=

2

2

2

2

2

2

1

(z′x )

+(z′y )

+1

(z′x )

+(z′y )

+1

(z′x )

+(z′y )

+1

n

z′x

,

z′y

,

−1

2

=

2

2

2

2

2

2

(z′x )

+(z′y )

+1

(z′x )

+(z′y )

+1

(z′x )

+(z′y )

+1

направлениями

этих

осей),

соответственно.

Пусть

n1 = (cosα1 ,cos β1 ,cosγ1 ), n2

= (cosα2 ,cos β2 ,cosγ2 ) . Очевидно, что

n1 = −n2 .

Это означает, что справедливы равенства α1

=π +α2 , β1 =π + β2 , γ1 =π +γ2 .

Без ограничения общности, достаточно

рассматривать

прямоугольник,

причём,

для

простоты, считаем, что его проекция на плоскость

z = 0 есть

прямоугольник

со

сторонами ∆x, ∆y , а сам он имеет

стороны ∆x, ∆l .

Тогда

∆y = ∆l cosγ

и

пл.(S) = ∆x ∆l =

∆x ∆y (cosγ > 0) .

cosγ

В общем случае пл.(S) = ∆x ∆y .

cosγ

Если

нормали

выбирались

в

точках

(xi , yi , zi ) ,

то

пусть

(cosαi ,cos βi ,cosγi )

–

их

направляющие

косинусы.

Согласно

сказанному

n

n

∆x ∆y

выше, площадь

«панциря» есть

∑

пл.(Si ) = ∑

i

i

.

Эта сумма является

cosγi

i =1

i =1

интегральной

суммой

для

двойного

интеграла ∫∫

dxdy

.

Как

установлено

cosγ

D

выше,

cosγ

=

1

2

, поэтому S =

∫∫

∂z 2

∂z

2

+1dxdy .

+

∂z 2

∂z

D

∂x

∂y

+1

+

∂x

∂y

x = x(u,v)

∆ - некоторая плоская

область. Пусть

y = y(u,v) , где (u,v) ∆ , а

z = z(u,v)

x, y, z C1 (∆) .

Кроме того, пусть в любой точке

x′

y′

z′

равен 2. Это

∆ ранг матрицы u

u

u

yv′

xv′

zv′

означает, что в любой точке ∆ хотя бы один из миноров второго порядка

этой матрицы не равен 0. Если, скажем, в некоторой точке C =

xu′

yu′

≠ 0, то

xv′

yv′

это означает (вспомним сформулированную в конце 2 семестра теорему о

системе неявных функций), что уравнения

x = x(u,v)

можно решить,

y = y(u,v)

∂y

∂z

(Если

A =

∂u

∂u

≠ 0 ,

то

имеем,

по аналогии,

X = X ( y, z) , а

если

∂y

∂z

∂v

∂v

∂x

∂z

− B =

∂u

∂u

≠ 0 , то Y = Y (x, z) ).

∂x

∂z

∂v

∂v

x(u,v)

Обозначим

r

(u,v)

вектор

y(u,v) .

Рассмотрим

произвольную

точку

z(u,v)

(u0 ,v0 ) ∆.

Зафиксируем

сначала

v0

и рассмотрим

r

(u,v0 ) – кривую на

∂x

(u

0

,v

0

)

∂u

поверхности. Тогда

ru =

∂

r

(u0

,v0 )=

∂y

(u0

,v0 )

–

вектор касательной к этой

∂u

∂u

∂z

(u0

,v0 )

∂u

кривой в точке

(u

,v

).

Аналогично,

r

=

∂

r

(u

,v

)

- вектор касательной к

0

0

v

∂v

0

0

параллельны. Поэтому в качестве нормального вектора можно взять

ru ×

rv

(векторное

произведение)

или

i

j

k

∂y

∂z

∂z

∂x

∂x

∂y

∂x

∂y

∂z

+

+

=

∂u

∂u

∂u

∂u

∂u

∂u

i

j

k

= Ai

+ Bj

+Ck .

Тогда

единичные

∂u ∂u ∂u

∂y

∂z

∂z

∂x

∂x

∂y

∂x

∂y

∂z

∂v ∂v

∂v ∂v

∂v ∂v

∂v

∂v

∂v

A

,

B

2 ,

C

векторы нормали равны

2

2

2

2

2

2

2

2

, при

± A

+ B

+C

± A

+ B

+C

±

A

+ B

+C

раз определитель С, а

cosγ

=

C

, и пусть области D соответствует

A2

+ B2

+C 2

область

∆0

на плоскости

(u,v) .

Тогда по теореме о

замене переменных,

∫∫

dxdy = ∫∫

C dudv

=∫∫

A2

+ B2 +C 2 dudv .

C

A

2

+ B

2

+C

2

D

cosγ

∆0

∆0

Легко проверить, что в случае уравнения

x = x( y, z)

или

y = y(x, z)

получится

интеграл такого же вида: ∫∫

A2

+ B2 +C 2 dudv, i =1, 2

∆i

Объединяя

все

полученные

части,

получаем

общую

площадь

∫∫

A2 + B2 +C 2 dudv ,

где

∆

-

вся

область

изменения

параметров

∆

(u,v), ∆ = ∆0 ∆1 ∆2 .

Отметим, что выражение A2 + B 2 +C 2

можно преобразовать к более удобному

для вычислений виду.

Числа (A, B, C)

суть координаты

×

. Поэтому A2 + B 2 +C 2 – квадрат модуля

ru

rv

вектора

×

. Напомним, что

модуль

векторного

произведения равен

ru

rv

sin φ

(φ

-

угол

между

и

).

Значит,

ru

rv

ru

rv

2

2

∂x

∂y

∂z

2

∂x

2

∂y

2

∂z 2

2

∂x 2

∂y

2

. Здесь

ru =

ru

=

,

,

=

+

+

=

E ; rv

=

+

+ и

∂u

∂u

∂u

∂u

∂u

∂u

∂v

∂v

∂x

∂y

∂z

∂x

∂y

∂z

∂x

∂x

∂y

∂y

∂z

∂z

(ru , rv )=

= F .

Итак,

,

,

,

,

,

=

+

+

∂u

∂u ∂u

∂v

∂v ∂v

∂u

∂v

∂u ∂v ∂u

∂v

A2 + B 2 +C 2

= EG − F 2 ,

и

формула

для

площади

поверхности,

заданной

параметрически, такова:

S = ∫∫

EG − F 2 dudv .

D

произвольным

образом

точки

Mi (xi , yi , zi ) Si и рассмотрим

сумму

n

}).

∑ f (xi , yi , zi )пл.(Si ) =σ(f ,T ,{Mi

i =1

Определение.

Пусть

I R .

Если

ε > 0 δ > 0

T : d(T )<δ {Mi }

σ(f ,T ,{Mi })− I

< ε ,

то мы говорим, что I есть

поверхностный интеграл 1-го типа от функции

f (x, y, z) по поверхности S и

обозначаем это следующим образом: I = ∫∫ f (x, y, z)dS .

S

Пример задачи, моделью которой служит поверхностный интеграл

первого типа – нахождение массы поверхности S, поверхностная плотность

которой в точке (x, y, z) равна

f (x, y, z).

Для вычисления поверхностного интеграла 1-го типа удобно

использовать следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть поверхность S задана уравнением z = z(x, y), (x, y) D0 ,

где z – непрерывно дифференцируемая на

квадрируемой области D0

функция, D0

R 2 . Тогда для любой непрерывной на поверхности S функции f

∫∫

f (x, y, z)dS =

∫∫

f (x, y, z(x, y))

∂z 2

∂z 2

+

+1 dxdy .

S

D0

∂x

∂y

функция, то

∫∫ f (x, y, z)dS = ∫∫ f (x, y(x, z), z)

∂y 2

∂y 2

Аналогично, в

+

+1 dxdz .

S

D1

∂x

∂z

случае

задания

поверхности

уравнением

x = x(y, z)

Теорема 2. Если

поверхность (S) задана параметрическими

x = x(u,v),

уравнениями y = y(u,v),

(u,v) ∆ R 2 ,

z = z(u,v),

S

∆

S состоит из боковой поверхности S1 и основания S2. На боковой

поверхности, уравнение которой

z =

x2 + y2 ,всюду,

кроме точки (x, y)= (0,0)

∂z

x

∂z

y

и

∂z 2

∂z 2

x2

y2

2(x2 + y2 )

∂x

=

,

∂y

=

+

+1 =

+

+1 =

= 2

x 2 + y 2

x 2 + y 2

x

+ y

x