chirskii-lectures-4sem

(для простоты считаем, что

f (x) ≥ 0 ).

Вспомним также, что объём цилиндра с основанием, имеющим площадь

S и с высотой h равен S h .

n

Поэтому

интегральная сумма

∑ f (ξi ,ηi )пл(Di )

равна

объёму

тела,

i=1

состоящего из цилиндров с высотой

f (ξi ,ηi )

(для

простоты

считаем, что

f (x, y) ≥ 0 ) и основаниями Di .

Определение. Пусть f (x, y)

- ограниченная на квадрируемом множестве

D функция.

Пусть I R .

Если

ε > 0

δ > 0

T : d(T ) <δ

{Ni }

σ( f ,T ,{Ni }) − I

<ε , то будем говорить,

что f – интегрируема на D функция и

a

n

n

f (x),

f (x), то

Дарбу вида s(T ) = ∑mi ∆xi ,

S(T ) =

∑Mi ∆xi , где mi = inf

Mi = sup

i=1

i=1

x [ xi−1 ;xi ]

x [ xi−1 ;xi ]

есть mi - нижняя грань, а Mi

-

верхняя грань множества значений

f (x) при

x [xi−1; xi ].

Аналогично

обозначим

для ограниченной

на D

функции f (N)

mi = inf f (N ) , Mi

= sup f (N )

(эти

числа существуют

ввиду

предполагаемой

N Di

N Di

s(T )= ∑n

mi пл(Di ),

S(T )= ∑n

M i пл(Di ). Эти величины представляют собой

i=1

i=1

2.

Свойства двойных интегралов

Свойство 1. Если f1, f 2 - интегрируемые на D функции, а α1, α2 - числа,

то ∫∫(α1 f1

+α2 f2 )dxdy =α1 ∫∫ f1dxdy +α2 ∫∫ f2 dxdy . Иными словами, интеграл -

D

D

D

линейный функционал.

Свойство 2. Если f

- интегрируема на D1 D2 , причем если площадь

пересечения

D1 D2

равна

0,

то

∫∫

fdxdy = ∫∫ fdxdy + ∫∫ fdxdy .

D1 D2

D1

D2

(Аддитивность интеграла по множеству).

Свойство

3.

Если

f - интегрируемая

на

D функция

и

f ≥ 0 ,

то

∫∫ fdxdy ≥ 0 .

D

Свойство 4. Если f1, f 2 - интегрируемые на D функции и

f1 ≥ f2 , то

∫∫ f1dxdya ≥ ∫∫ f2 dxdy .

D

D

Свойство 5. Если f - интегрируемая на D функция, то | f | - также

интегрируемая, причем

∫∫ fdxdy

≤ ∫∫

f

dxdy .

D

D

Свойство 6. Если f - интегрируемая на D функция, причем т < f < М,

где т,

М

ограничивающие

множество

значений

f

числа,

то

m пл(D)≤ ∫∫ fdxdy ≤ M пл(D) (пл.(D)

–

площадь

D), т.е.

γ, m ≤ γ ≤ M :

∫∫ fdxdy = γ m(D). Если,

кроме того,

f -

непрерывна на D,

то

(ξ,η) D :

D

∫∫ fdxdy =

f (ξ,η) m(D) .

D

которой параллельны осям координат.

Теорема. Пусть для

f (x, y)

существует

∫∫ f (x, y)dxdy , где

D

D :{(x, y) | a ≤ x ≤ b;c ≤ y ≤ d} . Кроме того,

пусть для любого x [a,b] существует

J (x) = ∫d

f (x.y)dy .

c

∫b J (x)dx = ∫b dx∫d

f (x, y)dy

a

a c

∫∫ f (x, y)dxdy = ∫b dx∫d

f (x, y)dy

D

a

c

Доказательство.

Разобьём прямоугольник D на прямоугольники, обозначенные Dij,

прямыми,

параллельными оси y через точки a =xo < x1

< ... < xm = b и прямыми,

параллельными оси x и проходящими через точки c = yo < y1 < ... < yl

= d. Таким

образом, Di, j

={(x, y), x [xi−1 , xi ], y [ y j−1, y j ]}, i =1,...,m, j =1,...k .

Пусть

∆xi = xi

− xi−1 , ∆yi

= yi − yi−1 ,

mi, j и

M i, j ,

соответственно,

нижняя

и

верхняя грани функции

f (x, y) на Dij, откуда mi, j ≤ f (x, y) ≤ M i, j интегрируем это

y j

неравенство по y: mi, j ∆yi

≤ ∫ f (ξ, y)dy ≤ M i, j ∆yi . Суммируя эти неравенство по j

y j −1

k

k

от

j=1

до

j=k:

∑mi, j

∆yi ≤ J (ξi ) ≤ ∑M i, j

∆yi . Умножим

все

части этих

j=1

j=1

неравенств

на

∆xi > 0

и

суммируем

всё

по

i

от

i=1

до

m:

m

k

m

m

k

∑∑mi, j ∆xi ∆y j ≤∑J (ξi )∆xi

≤ ∑∑M i, j ∆xi ∆y j .

i=1 j=1

i=1

i=1 j=1

или

m

k

m

m

k

∑∑mi, j

пл.Di, j ≤∑J (ξi )∆xi ≤ ∑∑M i, j

пл.Di, j

i=1 j=1

i=1

i=1 j=1

или

m

s(T ) ≤ ∑J (ξi )∆xi ≤ S(T )

i=1

где T – разбиение D на прямоугольники Dij. При d(T ) →0 стремится к

нулю

и

max ∆xi .

Кроме

того,

s(T ), S(T ) →∫∫ fdxdy .

Значит,

интеграл

D

b

d

существует и равен ∫∫ f (x, y)dxdy , что и утверждалось.

∫dx∫ f (x, y)dy

a

c

D

b

b

Ф2 ( x)

∫J (x)dx = ∫dx

∫ f (x, y)dy и он равен ∫∫ f (x, y)dxdy .

a

a

Ф1 ( x)

D

∫∫ f *dxdy = ∫∫ f *dxdy + ∫∫

f *dxdy = ∫∫ fdxdy .

D*

D

D*\ D

D

D*

a

c

b

Ф1 ( x)

∫∫ fdxdy = ∫dx

∫ f (x, y)dy ,

D

a

Ф1 ( x)

графиком непрерывной функции y =φ2 (x), снизу -

y =φ1 (x),

x [a;b],

а по

бокам - отрезками вертикальных прямых х = а и х = b. Тогда

b

φ2 (x )

∫∫ f (x, y)dxdy = ∫dx

∫ f (x, y)dy .

D

a

φ1 (x )

Доказательство. Из непрерывности f(x,y) сразу следует её

интегрируемость

на D.

Кроме того, для любого

x [a,b]

функция

f(x,y)

Замечание.

Если

область

D

можно

ограничить

так:

c ≤ y ≤d, ψ1 (y)≤ x ≤ψ1 (y), ψ1 ,ψ2 C[c, d ] , то

∫∫ f (x, y)dxdy = ∫cd dy∫ψψ12((yy)) f (x, y)dx .

D

Смысл этой теоремы ясен – указан способ сведения нового для нас

объекта – двойного интеграла – к уже изученным обычным интегралам.

При вычислении интегралов часто бывает удобно сделать замену

переменных

x = x(u, v), y = y(u, v) ,

где x(u,v), y(u,v),

∂x

(u,v),

∂x

(u,v), ∂y (u,v), ∂y

(u,v)

–

непрерывны

в

∂u

∂v

∂u

∂v

некоторой области ∆ R 2 . Впоследствии мы будем часто писать просто

∂x

∂u

вместо

∂x

(u, v)

и

т.п.

и, кроме

того,

говорить

при выполнении

∂u

на области ∆

∂x

∂x

J =

∂u

∂v

не равнялся 0.

∂y

∂y

∂u

∂v

D

∆

(u,v + ∆v)

(u + ∆u,v + ∆v)

(u,v)

(

u + ∆u,v)

При отображении

x = x(u, v), y = y(u, v)

эти точки перейдут,