Лекции МГУ Артамонов Линал
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¨¥©ë¥ ¯à®áâà á⢠. £ ¬ âà¨æë ¨ ¥£® ¯à¨«®¦¥¨ï
1. ¨¥©ë¥ ¯à®áâà áâ¢
¯à¥¤¥«¥¨¥ 4.1. ®¦¥á⢮ V §ë¢ ¥âáï «¨¥©ë¬ (¢¥ªâ®àë¬)
¯à®áâà á⢮¬, ¥á«¨ ¢ V ®¯à¥¤¥«¥ ®¯¥à æ¨ï á«®¦¥¨ï x + y í«¥¬¥â®¢ ¨§ V , §ë¢ - ¥¬ëå ¢¥ªâ®à ¬¨, ¨ ®¯¥à æ¨ï x 㬮¦¥¨ï ¢¥ªâ®à x ç¨á«® ਠí⮬ ¢ë¯®«¥ë á«¥¤ãî騥 ªá¨®¬ë:
(1)á«®¦¥¨¥ áá®æ¨ ⨢®, â. ¥. (x + y) + z = x + (y + z) ¤«ï ¢á¥å x; y; z 2 V ;
(2)á«®¦¥¨¥ ª®¬¬ãâ ⨢®, â. ¥. x + y = y + x ¤«ï ¢á¥å x; y 2 V ;
(3) |
áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© í«¥¬¥â 0 2 V , §ë¢ ¥¬ë© ã«¥¬, çâ® x + 0 = x ¤«ï ¢á¥å x 2 V ; |
|
(4) |
¤«ï «î¡®£® x 2 V áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© í«¥¬¥â x 2 V , §ë¢ ¥¬ë© ¯à®â¨¢®¯®«®¦- |
|
|
ë¬ ª x, çâ® x + ( x) = 0; |
|
(5) |
¥á«¨ ; { ç¨á« |
¨ x 2 V , â® ( )x = ( x); |
(6) |
¥á«¨ ; { ç¨á« |
¨ x 2 V , â® ( + )x = x + x; |
(7)¥á«¨ { ç¨á«® ¨ x; y 2 V , â® (x + y) = x + y;
(8)¥á«¨ x 2 V , â® 1x = x.
ਬ¥ |
ал 4.2. а¨¬¥а ¬¨ ¢¥ªв®але ¯а®бва бв¢ п¢«повбп |
Mat(n m) |
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, ¢á¥ äãªæ¨¨ ®â१ª¥ [a; b] ¨ â. ¤. |
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।«®¦¥¨¥ 4.3. ¯à ¢¥¤«¨¢ë á«¥¤ãî騥 ã⢥ত¥¨ï:
(1)ã«¥¢®© í«¥¬¥â ¥¤¨á⢥;
(2)¯à®â¨¢®¯®«®¦ë© í«¥¬¥â ®¯à¥¤¥«¥ ®¤®§ ç®;
(3)0x = 0 = 0;
(4)( 1)x = x.
®ª § ⥫ìá⢮. ஢¥à¨¬ âà¥âì¥ ã⢥ত¥¨¥. ¬¥¥¬ 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x.âáî¤
0 = 0x + ( 0x) = (0x + 0x) + ( 0x) = 0x + (0x + ( 0x)) = 0x + 0 = 0x:
«¥¤á⢨¥ 4.4. ( )x = x x; (x y) = x y:
¯à¥¤¥«¥¨¥ 4.5. ¨á⥬ ¢¥ªâ®à®¢ x1; : : : ; xn «¨¥©®£® ¯à®áâà á⢠«¨¥©® § - ¢¨á¨¬ , ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© ¥ã«¥¢®© ¡®à ç¨á¥« 1; : : : ; n (â. ¥. ¥ ¢á¥ í⨠ç¨á« à ¢ë ã«î), çâ®
1x1 + + nxn = 0: |
(21) |
¨á⥬ ¢¥ªâ®à®¢ x1; : : : ; xn «¨¥©®£® ¯à®áâà á⢠«¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ |
, ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå |
ç¨á¥« 1; : : : ; n ¨§ (21) ¢ë⥪ ¥â, çâ® |
|
1 = = n = 0: |
|
¬¥ç ¨¥ 4.6. î¡ ï ª®¥ç ï á¨á⥬ ¢¥ªâ®à®¢ «¨¥©®£® ¯à®áâà á⢠«¨¡® «¨- ¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ , «¨¡® «¨¥©® § ¢¨á¨¬ .
21
22 |
4. . |
¯à¥¤¥«¥¨¥ 4.7. ¥ªâ®à x ï¥âáï «¨¥©® ª®¬¡¨ 樥© ¢¥ªâ®à®¢ x1; : : : ; xn ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© ¡®à ç¨á¥« 1; : : : ; n, çâ®
x = 1x1 + + nxn:
¨¥©®© ®¡®«®çª®© hx1; : : : ; xni á¨áâ¥¬ë ¢¥ªâ®à®¢ x1; : : : ; xn §ë¢ ¥âáï ¬®¦¥á⢮ ¢á¥å «¨¥©ëå ª®¬¡¨ 権 í⮩ á¨áâ¥¬ë ¢¥ªâ®à®¢.
।«®¦¥¨¥ 4.8. ᫨ ¢ á¨á⥬¥ ¢¥ªâ®à®¢ ¥áâì ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à, â® á¨á⥬ § - ¢¨á¨¬ . ᫨ ¯®¤á¨á⥬ ¢ á¨á⥬¥ «¨¥©® § ¢¨á¨¬ , â® ¨ ¢áï á¨á⥬ § ¢¨á¨¬ .¨á⥬ § ¢¨á¨¬ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ®¤¨ ¨§ ¥¥ ¢¥ªâ®à®¢ ï¥âáï «¨¥©® ª®¬¡¨ 樥© ®áâ «ìëå.
¥®à¥¬ 4.9 ( à¨â¥à¨© à ¢¥á⢠®¯à¥¤¥«¨â¥«ï ã«î) . ¯à¥¤¥«¨â¥«ì
ª¢ ¤à ⮩ ¬ âà¨æë A à ¢¥ ã«î ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¥¥ áâப¨ (á⮫¡æë) «¨¥©® § ¢¨á¨¬ë.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì áâப¨ A § ¢¨á¨¬ë, ¨, ¯à¨¬¥à, ¯®á«¥¤ïï áâப A ï¢-
«ï¥âáï «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© ¯à¥¤ë¤ãé¨å. ëç⥬ ¨§ ¯®á«¥¤¥© áâப¨ íâã «¨¥©ãî
ª®¬¡¨ æ¨î. ®£¤ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¥ ¬¥ï¥âáï, ®, á ¤à㣮© áâ®à®ë, ® à ¢¥ 0.
¡à â®, ¯ãáâì det A = det tA = 0. ¨á⥬ «¨¥©ëå ®¤®à®¤ëå ãà ¢¥¨© á ¬ â- à¨æ¥© tA ᮢ¬¥áâ ¨ ¥ ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®£® à¥è¥¨ï ¯® ⥮६¥ à ¬¥à 3.23. ãáâì
0 1
1
= B ... C
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n
{¥ã«¥¢®¥ à¥è¥¨¥ í⮩ á¨á⥬ë, â. ¥. A = 0. â® ¤ ¥â § ¢¨á¨¬®áâì áâப A á
ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ 1; : : : ; n.
¥®à¥¬ 4.10 ( ᮢ ï «¥¬¬ ® «¨¥©®© § ¢¨á¨¬®áâ¨) . ãáâì ¤ ë ¤¢¥ á¨áâ¥¬ë ¢¥ªâ®à®¢ a1; : : : ; an ¨ b1; : : : ; bm, ¯à¨ç¥¬ ª ¦¤ë© ¢¥ªâ®à ai 2 hb1; : : : ; bmi. ᫨ n > m,
â® á¨á⥬ a1; : : : ; an «¨¥©® § ¢¨á¨¬ .
®ª § ⥫ìá⢮. ® ãá«®¢¨î
|
a1 = b1 11 + |
+ bm m1 |
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: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : |
(22) |
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|
an = b1 1n + |
+ bm mn |
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áᬮâਬ ®¤®à®¤ãî á¨á⥬㠫¨¥©ëå ãà ¢¥¨© |
|
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|
8: : |
11: :x: |
1: : : :+: : : : : : : : :+: : : : :a:1:n:x:n: : : :=: : : :0: |
(23) |
|
|
< m1x1 + + amnxn = 0 |
c1; : : : ; cn. § (22) ¨ (23) |
|||
® ¯à¥¤«®¦¥¨î 1.13 |
: |
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á¨á⥬ (23) ¨¬¥¥â ¥ã«¥¢®¥ à¥è¥¨¥ |
|
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á«¥¤ã¥â, çâ®
c1a1 + + cnan = 0:
«¥¤á⢨¥ 4.11. ãáâì ¤ ë ¤¢¥ á¨áâ¥¬ë ¢¥ªâ®à®¢ a1; : : : ; an ¨ b1; : : : ; bm, ¯à¨ç¥¬ ª ¦¤ë© ¢¥ªâ®à ai 2 hb1; : : : ; bmi. ᫨ á¨á⥬ a1; : : : ; an ¥§ ¢¨á¨¬ , â® n m.
«¥¤á⢨¥ 4.12. ãáâì ¤ ë ¤¢¥ ¥§ ¢¨á¨¬ë¥ á¨áâ¥¬ë ¢¥ªâ®à®¢ a1; : : : ; an ¨ b1; : : : ; bm;
¯à¨ç¥¬ ª ¦¤ë© ¢¥ªâ®à
ha1; : : : ; ani = hb1; : : : ; bmi:
®£¤ n = m.
1. |
23 |
¯à¥¤¥«¥¨¥ 4.13. ¨á⥬ ¢¥ªâ®à®¢ a1; : : : ; an ¢ «¨¥©®¬ ¯à®áâà á⢥ L §ë¢ - ¥âáï ¡ §¨á®¬ (¡ §®©) L, ¥á«¨
(1)á¨á⥬ a1; : : : ; an ¥§ ¢¨á¨¬ ;
(2)L = ha1; : : : ; ani:
§¬¥à®áâìî dim V ¯à®áâà á⢠V §ë¢ ¥âáï ç¨á«® ¢¥ªâ®à®¢ ¢ ¡ §¨á¥ V . ¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮ ª®¥ç®¬¥à®, ¥á«¨ ¥£® à §¬¥à®áâì ª®¥ç .
¬¥ç ¨¥ 4.14. ᨫã á«¥¤á⢨ï 4.12 ç¨á«® ¢¥ªâ®à®¢ ¢ «î¡®¬ ¡ §¨á¥ ¯®áâ®ï®, ¨ ¯®í⮬ã à §¬¥à®áâì ¯à®áâà á⢠®¯à¥¤¥«¥ ®¤®§ ç®.
¯à ¦¥¨¥ 4.15. ®ª § âì, çâ® ¬ âà¨çë¥ ¥¤¨¨æë Eij ®¡à §ãîâ ¡ §¨á Mat(n
m).
¥®à¥¬ 4.16. î¡ãî ¥§ ¢¨á¨¬ãî á¨á⥬㠢¥ªâ®à®¢ ª®¥ç®¬¥à®£® ¯à®áâà á⢠¬®¦® ¤®¯®«¨âì ¤® ¡ §¨á .
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì e = (e1; : : : ; en) { ¡ §¨á ¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà á⢠V , ।- ¯®«®¦¨¬, çâ® á¨á⥬ ¢¥ªâ®à®¢ a1; : : : ; ak «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ . áᬮâਬ á¨á⥬ ¢¥ª- â®à®¢ a1; : : : ; ak; e1. ᫨ ® § ¢¨á¨¬ , â® e1 2 ha1; : : : ; ani: í⮬ á«ãç ¥ ¯¥à¥å®¤¨¬ ª à áᬮâà¥¨î ¢¥ªâ®à e2. ᫨ ¦¥ íâ á¨á⥬ ¥§ ¢¨á¨¬ , à áᬠâਢ ¥¬ á¨á⥬㠢¥ª- â®à®¢ a1; : : : ; ak; e1, ¨ â. ¤. १ã«ìâ ⥠¯®«ãç ¥¬ â ªãî ¥§ ¢¨á¨¬ãî á¨á⥬㠢¥ªâ®à®¢
a1; : : : ; an; ei1 ; : : : ; eis ;
«¨¥© ï ®¡®«®çª L ª®â®à®© ᮤ¥à¦¨â ¡ §¨á e: âáî¤ L = V , ¨ ¯®áâ஥ ï á¨á⥬ ï¥âáï ¡ §¨á®¬. 
¯à¥¤¥«¥¨¥ 4.17. ãáâì e = (e1; : : : ; en) { ¡ §¨á ¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà á⢠V , ¨ x 2
V . ®£¤ |
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x = x1e1 + |
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x ¯® ¡ §¨áã e: ¡®à X §ë¢ ¥âáï |
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¢¥ªâ®à x ¢ ¡ §¨á¥ e: |
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ª®®à¤¨ â ¢¥ªâ®à |
¢ ¡ §¨á¥ ®¯à¥¤¥«¥ ®¤®§ ç®. |
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।¯®«®¦¨¬, çâ® ¢ ¢¥ªâ®à®¬ ¯à®áâà á⢥ L ¢ë¡à ë ¤¢ ¡ §¨á |
e = (e1; : : : ; en) ¨ |
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e0 = (e10 ; : : : ; en0 ). ®£¤ |
¤«ï «î¡ëå i; j = 1; : : : ; n ¨¬¥¥¬ |
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= e0 |
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+ e0 c |
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+ e c0 |
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e = e0C; e0 = eC0; |
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£¤¥ C = (cij); C0 |
= (cij0 ) 2 Mat(n) |
(24) |
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¯à¥¤¥«¥¨¥ 4.19. âà¨æ C (C0) ¨§ (24) §ë¢ ¥âáï ¬ âà¨æ¥© ¯¥à¥å®¤ ®â e ª e0 (e0 ª e):
§ (24) ¢ë⥪ ¥â, çâ® e = eCC0, ¨ ¯®í⮬ã CC0 = En. «®£¨ç®, C0C = En.®í⮬ã C0 = C 1. ¡à â®, ¥á«¨ ã ¬ âà¨æë C ¥áâì ®¡à â ï, ¨ e0 = eC, â® e0 { ¡ §¨á
¯à®áâà á⢠. ®í⮬ã á¯à ¢¥¤«¨¢®
а¥¤«®¦¥¨¥ 4.20. ва¨ж ¬¨ ¯¥а¥е®¤ ®в ®¤®£® ¡ §¨б ª ¤аг£®¬г п¢«повбп ®¡- а в¨¬л¥ ¬ ва¨жл ¨ в®«мª® ®¨.
24 |
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।«®¦¥¨¥ 4.21. ãáâì e; e0 { ¤¢ |
¡ §¨á ¯à®áâà á⢠L, ¨ ¢¥ªâ®à x |
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L ¨¬¥¥â |
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¢ íâ¨å ¡ §¨á å á⮫¡æë ª®®à¤¨ â X; X0 |
, ᮮ⢥âá⢥®. ᫨ |
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¯¥à¥å®¤ |
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C { ¬ âà¨æ |
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®â e ª e0; â® X = CX0.
®ª § ⥫ìá⢮. ᨫ㠮¯à¥¤¥«¥¨ï 4.17 ¨ (24) x = e0X0 = eCX0 = eX;
®âªã¤ ¢ë⥪ ¥â ã⢥ত¥¨¥ ¢ ᨫ㠥¤¨á⢥®áâ¨ à §«®¦¥¨ï ¯® ¡ §¨áã.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 4.22. ¥¯ãá⮥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ L ¢ «¨¥©®¬ ¯à®áâà á⢥ V §ë¢ - ¥âáï ¯®¤¯à®áâà á⢮¬, ¥á«¨ ¨§ ⮣®, çâ® x; y 2 L á«¥¤ã¥â, çâ® x + y; x 2 L.
¯à ¦¥¨¥ 4.23. ᫨ L { ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¢ V , â® 0 2 L. ᫨ x 2 L, â® x 2 L.
ਬ¥à 4.24. áᬮâਬ ®¤®à®¤ãî á¨á⥬㠫¨¥©ëå ãà ¢¥¨© AX = 0 á ¬ â- à¨æ¥© A 2 Mat(m n). ®£¤ ¢á¥ ¥¥ à¥è¥¨ï ®¡à §ãîâ ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¢ ¯à®áâà á⢥ á⮫¡æ®¢ Mat(n 1).
¥®à¥¬ 4.25. ãáâì L { ¯®¤¯à®áâà á⢮ ª®¥ç®¬¥à®£® ¯à®áâà á⢠V . ®£¤ dim L dim V . ᫨ dim L = dim V , â® L = V .
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì e { ¡ §¨á L, ¨ e0 { ¡ §¨á V . ® á«¥¤á⢨î 4.11 ç¨á«® ¢¥ª- â®à®¢ ¢ e (= dim L) ¥ ¯à¥¢®á室¨â ç¨á« ¢¥ªâ®à®¢ ¢ e0 (= dim L).
᫨ dim L = dim V , â®, ¯à¨á®¥¤¨ïï ª e «î¡®© ¢¥ªâ®à ¨§ e0; ¯®«ãç ¥¬ § ¢¨á¨¬ãî á¨á⥬ã. ®í⮬㠫© ¢¥ªâ®à ¨§ e0 «¥¦¨â ¢ «¨¥©®© ®¡®«®çª¥ e; â. ¥. ¢ L. âáî¤
L = V .
¯à¥¤¥«¥¨¥ 4.26. ãáâì § ¤ ë ¢¥ªâ®àë x1; : : : ; xk. £®¬ í⮩ á¨áâ¥¬ë §ë¢ - ¥âáï ¬ ªá¨¬ «ì®¥ ç¨á«® «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¢¥ªâ®à®¢ í⮩ á¨á⥬ë.
¯à ¦¥¨¥ 4.27. £ á¨áâ¥¬ë ¢¥ªâ®à®¢ a1; : : : ; ak à ¢¥ dimha1; : : : ; aki:
।¯®«®¦¨¬, çâ® § ¤ á¨á⥬ ¢¥ªâ®à®¢ a1; : : : ; am ¢ ¢¥ªâ®à®¬ ¯à®áâà á⢥ V á ¡ §¨á®¬ e = (e1; : : : ; en). ãáâì § ¤ ® à §«®¦¥¨¥ ª ¦¤®£® ¢¥ªâ®à ai ¯® ¡ §¨áã e,
ai = e1a1i + + enani:
®«®¦¨¬ A = (ars) Mat(n m). ®£¤ |
|
(a1; : : : ; am) = eA: |
(25) |
¯¨è¥¬ «£®à¨â¬ à¥è¥¨ï á«¥¤ãî饩 § ¤ ç¨: |
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-¥®¡å®¤¨¬® - ©â¨ ¬ ªá¨¬ «ì-ãî -¥§ ¢¨á¨¬ãî ¯®¤á¨á⥬ã á¨áâ¥¬ë ¢¥ªâ®à®¢
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a1; : : : ; am |
|
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«ï à¥è¥¨ï í⮩ § ¤ ç¨ ¯à¨¢¥¤¥¬ ¬ âà¨æã A í«¥¬¥â à묨 ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï¬¨ ª áâã- |
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1 |
0 |
0 |
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0 |
0 |
b1;r+1 |
: : : |
b1m |
|
|
B0: : : :0: : :0: : : :: :: :: |
: : :0: : :1: : : :b: : : : : : ::::::: : : :b: : :C |
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0 1
1
= B ... C;
@A
n
çâ® A = B = 0. ᨫã (25) íâ® íª¢¨¢ «¥â® ⮬ã, çâ®
(a1; : : : ; an) = 0: |
(27) |
§ ¢¨¤ B ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¯¥à¢ë¥ r ¢¥ªâ®à®¢ a1; : : : ; ar ¥§ ¢¨á¨¬ë. ஬¥ ⮣®, ¤«ï «î¡®£® i = r + 1; : : : ; m ¨¬¥¥¬
0 1
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B... C
BC
BC
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C |
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(28) |
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C |
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B |
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C |
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C |
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BC
B1C
BC
B0 C
BC
B.. C @ . A
0
£¤¥ -1 à ᯮ«®¦¥ i-®¬ ¬¥áâ¥. § (27) ¢ë⥪ ¥â, çâ®
ai = a1b1;i + + arbr;i:
¥¬ á ¬ë¬ ¯®áâ ¢«¥ ï ¢ëè¥ § ¤ ç à¥è¥ . ⬥⨬, çâ® ¢ ᨫã ã¯à ¦¥¨ï 4.27 ¯à¨¢¥¤¥ë© «£®à¨â¬ ¯®§¢®«ï¥â 室¨âì ¡ §¨á «¨¥©®© ®¡®«®çª¨ á¨áâ¥¬ë ¢¥ªâ®à®¢.
2. £ ¬ âà¨æë
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®ª § ⥫ìá⢮. à¨ í«¥¬¥â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨ïå áâப «¨¥© ï ®¡®«®çª á¨á- ⥬ë áâப ¥ ¬¥ï¥âáï. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¥ ¬¥ï¥âáï ¨ ¥¥ à §¬¥à®áâì.
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26 |
4. . |
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âë© ¢¨¤, ¯à¨¬¥à, (26). ®£¤ ¢ ¥© ¯¥à¢ë¥ r áâப ¨ á⮫¡æ®¢ ®¡à §ãîâ ¬ ªá¨¬ «ìë¥ ¥§ ¢¨á¨¬ë¥ á¨á⥬ë. 
¯à¥¤¥«¥¨¥ 4.31. ãáâì ¢ ¬ âà¨æ¥ A ¢ë¤¥«¥ë r áâப ¨ á⮫¡æ®¢. ¨å ¯¥à¥-
á¥ç¥¨¨ áâந⠪¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ à §¬¥à |
r. ¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì §ë¢ ¥âáï ¬¨®à®¬ M |
¯®à浪 r ¬ âà¨æë A. î¡®© ¬¨®à ¯®à浪 |
r + 1, ¯®«ãç î騩áï ¯à¨á®¥¤¨¥¨¥¬ ¥é¥ |
®¤®© áâப¨ ¨ á⮫¡æ A, §ë¢ ¥âáï ®ª ©¬«ïî騬 ¤«ï M. |
|
¥®à¥¬ 4.32 ( ¥®à¥¬ ®¡ ®ª ©¬«ïî饬 ¬¨®à¥) . £ ¬ âà¨æë à ¢¥ ¯®à浪㠥- ã«¥¢®£® ¬¨®à , ¢á¥ ®ª ©¬«ïî騥 ª®â®à®£® à ¢ë 0.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì ¤«ï ¯à®áâ®âë 㪠§ ë© ¬¨®à M à §¬¥à r à ᯮ«®¦¥ ¢ ¢¥à奬 «¥¢®¬ 㣫㠬 âà¨æë A. à¨á®¥¤¨¨¬ ª M i-ãî áâப㠨 j-ë© á⮫¡¥æ. ®«ã-
ç î騩áï ®ª ©¬«ïî騩 ¬¨®à ¯® ãá«®¢¨î ¢á¥£¤ à ¢¥ 0 (¢ª«îç ï á«ãç ¨, ª®£¤ «¨¡® i < r; «¨¡® j < r. §«®¦¨¬ íâ®â ¬¨®à ¯® ¯à¨á®¥¤¨¥®¥ á⮫¡æã
0 = a1jA1;r+1 + + arjAr;r+1 + aijM:
ª ª ª M 6= 0, â®
aij = a1j( |
A1;r+1 |
) + + arj( |
Ar;r+1 |
): |
(29) |
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M |
M |
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(29) ª®íää¨æ¨¥âë |
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M |
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j, ¯®«ãç ¥¬, çâ® i- ï áâப |
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ï¥âáï «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© ¯¥à¢ëå |
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® ⥮६¥ 4.9 ¯¥à¢ë¥ |
r áâப A |
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¥§ ¢¨á¨¬ë. |
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|
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|
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¯à¨¬¥à¥ 4.24 ®â¬¥ç¥®, çâ® ¢á¥ à¥è¥¨ï ®¤®à®¤®© á¨á⥬ë AX = 0 ®¡à §ã¥â |
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¯®¤¯à®áâà á⢮ ¢ ¯à®áâà á⢥ ¢á¥å á⮫¡æ®¢. ©¤¥¬ ¥£® à §¬¥à®áâì. |
|
||||||
¥®à¥¬ 4.33. §¬¥à®áâì ¯à®áâà á⢠à¥è¥¨© ®¤®à®¤®© á¨á⥬ë |
AX = 0, |
||||||
£¤¥ á n ¥¨§¢¥áâ묨 à ¢ n r(A), £¤¥ r(A) { à £ ¬ âà¨æë A. |
|
||||||
®ª § ⥫ìá⢮. ᨫã ⥮६ 1.7, 4.29 ¬®¦® áç¨â âì, çâ® ¬ âà¨æ A ¯à¨¢¥¤¥ ¢ áâ㯥ç ⮬㠢¨¤ã B ¨§ (26), £¤¥ r = r(A) { à £ ¬ âà¨æë A. «ï i = r + 1 ¯®«®¦¨¬
0 1
b1;i
B... C
BC
BC
Bbr;iC
B C
B 0 C
B .. C
B C
ei = B . C = 0;
BC
B0 C
BC
B1C
BC
B0 C
BC
B... C @ A
0
£¤¥ 1 á⮨â i-®¬ ¬¥áâ¥. ª 㦥 ®â¬¥ç «®áì ¢ (28) á⮫¡¥æ ei ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ á¨á⥬ë Aei = Bei = 0.
ãáâì
0 1 a1
a = B ... C @ A
an
2. |
27 |
{ ¯à®¨§¢®«ì®¥ à¥è¥¨¥ á¨á⥬ë. ®£¤
b= a ar+1er+1 anen
⪦¥ ï¥âáï à¥è¥¨¥¬, ã ª®â®à®£® ¢á¥ § 票ï ᢮¡®¤ëå ¯¥à¥¬¥ëå ã«¥¢ë¥. § (26) ¢¨¤®, çâ® ¢¥ªâ®à b = 0. â ª, «î¡®¥ à¥è¥¨¥ á¨á⥬ë ï¥âáï «¨¥©®© ª®¬¡¨ -
樥© er+1; : : : ; en. ¥á«®¦ ï ¯à®¢¥àª ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ®¨ ¥§ ¢¨á¨¬ë.
¥®à¥¬ 4.34 ( ¥®à¥¬ ஥ª¥à - ¯¥««¨) . ¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© AX = b
ᮢ¬¥áâ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ à £¨ ¬ âà¨æ A ¨ (Ajb) ᮢ¯ ¤ îâ.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì á⮫¡¥æ ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ á¨á⥬ë. ®£¤ A = b, â. ¥. «¨¥©ë¥ ®¡®«®çª¨ á⮫¡æ®¢ A ¨ (Ajb) ᮢ¯ ¤ îâ. âáî¤ ¢ë⥪ ¥â ᮢ¯ ¤¥¨¥ à £®¢
íâ¨å ¬ âà¨æ.
¡à â®, ¯ãáâì à £¨ ¬ âà¨æ A ¨ (Ajb) ᮢ¯ ¤ îâ. ¨¥© ï ®¡®«®çª á⮫¡æ®¢ A ᮤ¥à¦¨âáï ¢ «¨¥©®© ®¡®«®çª¥ (Ajb), ¯à¨ç¥¬ ¨å à §¬¥à®á⨠ᮢ¯ ¤ îâ. ® ⥮६¥ 4.25 í⨠®¡®«®çª¨ ᮢ¯ ¤ îâ. ®í⮬ã b «¥¦¨â ¢ «¨¥©® ®¡®«®çª¥ á⮫¡æ®¢ A. 
¥®à¥¬ 4.35. £ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¬ âà¨æ ¥ ¯à¥¢®á室¨â à £ ¬®¦¨â¥«¥©. ᫨ ®¤¨ ¨§ ¬®¦¨â¥«¥© ï¥âáï ®¡à ⨬®© ¬ âà¨æ¥©, â® à £ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï à ¢¥ ¤àã- £®¬ã ¬®¦¨â¥«î.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì A; C; D = AC ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï 1.16. ®£¤ ª ¦¤ë© á⮫¡¥æ D ï¥âáï «¨¥©® ª®¬¡¨ 樥© á⮫¡æ®¢ A, ª ¦¤ ï áâப D ï¥âáï «¨¥©® ª®¬¡¨- 樥© áâப C. ® ⥮६¥ 4.10 (á¬. â ª¦¥ ⥮६ã 4.25) ¯®«ãç ¥¬ ¯¥à¢®¥ ã⢥ত¥¨¥.
ãáâì, ¯à¨¬¥à, ¬ âà¨æ A ®¡à ⨬ . ¯® ¤®ª § ®¬ã r(D) r(C). ஬¥ ⮣®, r(C) = r(A 1D) r(D): âáî¤ r(C) = r(D): 
28 |
4. . |
5
®¬¯«¥ªáë¥ ç¨á«
1. ¥©á⢨ï á ª®¬¯«¥ªá묨 ç¨á« ¬¨
¯à¥¤¥«¥¨¥ 5.1. ®¬«¥ªá묨 ç¨á« ¬¨ §ë¢ îâáï ¢¥é¥áâ¢¥ë¥ ¬ âà¨æë
b |
a |
|
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|
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|
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b |
; |
a; b |
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: |
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(30) |
¥à¥§ C ®¡®§ ç ¥âáï ¬®¦¥á⢮ ¢á¥å ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥«. ®¤ã«¥¬ ç¨á« |
z ¨§ (30) §ë- |
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¢ ¥âáï ¥®âà¨æ ⥫쮥 ¢¥é¥á⢥®¥ ç¨á«® |
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¬ âà¨æ. ®¤ã«ì ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥« à ¢¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨î ¬®¤ã«¥©. ᫨ z 6= 0, â® jzj > 0.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì z ¨§ (30) ¨ |
|
|
|
|
|
|
|
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b1 |
2 C |
: |
|
|
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b1 |
a1 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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z + z1 = |
a + a1 (b + b1) |
2 C |
|
|
|||
ab1 |
b + b1 |
a + a1 |
|
|
|
||
+ ba1 |
aa1 bb1 |
2 C |
|
|
|||
zz1 = aa1 |
bb1 |
(ab1 |
+ ba1) |
|
: |
(31) |
|
।«®¦¥¨¥ 5.3. ¬®¦¥¨¥ ¨ á«®¦¥¨¥ ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥« ª®¬¬ãâ ⨢®, á- á®æ¨ ⨢®, ®¡« ¤ ¥â ᢮©á⢠¬¨ ¤¨áâਡã⨢®áâ¨. C ᮤ¥à¦ âáï ã«¥¢®© ¨ ¥¤¨-
¨çë© í«¥¬¥âë. C ¤«ï ª ¦¤®£® í«¥¬¥â z ¨¬¥¥âáï ¯à®â¨¢®¯®«®¦ë© z. ஬¥ ⮣®, ã ª ¦¤®£® ¥ã«¥¢®£® í«¥¬¥â ¨¬¥¥âáï ®¡à âë©.
®ª § ⥫ìá⢮. ®áâ â®ç® ¤®ª § âì «¨èì ¯®á«¥¤¥¥ ã⢥ত¥¨¥. ãáâì z ¨§ (30). ®£¤ «¨¡® a, «¨¡® b ®â«¨ç® ®â ã«ï. ®í⮬ã
z 1 = a2 + b2 |
b a |
2 C: |
|
1 |
a |
b |
|
।«®¦¥¨¥ 5.4. C ï¥âáï ¢¥ªâ®àë¬ ¯à®áâà á⢮ ¤ R á ¡ §®© |
|||
|
1 |
0 |
|
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1 : |
||
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áî¤ã ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ¬ë ¡ã¤¥¬ ®â®¦¤¥á⢫ïâì ¢¥é¥á⢥®¥ ç¨á«® a á ¬ âà¨æ¥© aE:
á®, çâ® íâ® ®â®¦¤¥á⢫¥¨¥ ᮣ« ᮢ ® á á㬬 ¬¨ ¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï¬¨ ¢¥é¥á⢥ëå ç¨á¥«. ®£¤ ç¨á«® z ¨§ (30) ¬®¦® ®¤®§ ç® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ z = a + ib ( «£¥¡à ¨ç¥áª ï
ä®à¬ ç¨á« z.
29
30 5.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 5.5. ãáâì z = a + bi. ®£¤ ª®¬¯«¥ªá®¥ ç¨á«® z = a bi §ë¢ ¥âáï
ª®¬«¥ªá® ᮯàï¦¥ë¬ ª z.
¬¥ç ¨¥ 5.6. ᫨ z ¨¬¥¥â ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ (30), â® z { íâ® âà ᯮ¨à®¢ ï ¬ â- à¨æ . ®í⮬ã z1z2 = z1z2: ஬¥ ⮣®, zz = jzj2, ¨ ¯®í⮬ã z 1 = jzz2j:
2. ਣ®®¬¥âà¨ç¥áª ï ä®à¬ ª®¬¯«¥ªá®£® ç¨á«
।áâ ¢¨¬ ª®¬¯«¥ªá®¥ ç¨á«® z = a + bi ¢ ¢¨¤¥ ¢¥ªâ®à ¯«®áª®á⨠R2 á ª®®à¤¨ - â ¬¨ a; b. ®£¤ jzj { íâ® ¤«¨ í⮣® ¢¥ªâ®à z.
¯à ¦¥¨¥ 5.7. ®ª § âì, çâ® jz1 +z2j jz1j+jz2j, ¨ jz1 +z2j jz1j jz2j ¤«ï «î¡ëå z1; z2 2 C.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 5.8. à£ã¬¥â®¬ ¥ã«¥¢®£® ª®¬¯«¥ªá®£® ç¨á« z §ë¢ ¥âáï 㣮«
¬¥¦¤ã z ¨ ¯®«®¦¨â¥«ìë¬ ¯à ¢«¥¨¥¬ ®á¨ OX. |
|
|
|
||||
à£ã¬¥â ¥ã«¥¢®£® ª®¬¯«¥ªá®£® ç¨á« |
®¯à¥¤¥«¥ á â®ç®áâìî ¤® á« £ ¥¬®£® |
||||||
2 n; n 2 Z. ᫨ z = a + bi 6= 0, ⮠|
|
|
|
|
|||
|
cos = |
x |
; |
sin = |
y |
: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
jzj |
|
jzj |
|
||
âáî¤ ¯®«ãç ¥¬ âਣ®®¬¥âà¨ç¥áªãî ä®à¬ã ª®¬¯«¥ªá®£® ç¨á« |
|||||||
|
z = jzj(cos + i sin ) |
|
|
(32) |
|||
।«®¦¥¨¥ 5.9. à£ã¬¥â ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥« à ¢¥ á㬬¥ à£ã- |
|||||||
¬¥â®¢ ¬®¦¨â¥«¥©. |
|
|
|
|
|
|
|
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì z ¨§ (32) ¨ z1 = jz1j(cos |
+i sin |
): ® ä®à¬ã« ¬ ¯à¨¢¥¤¥¨ï |
|||||
zz1 = jzjjz1j(cos( + |
) + i sin( + |
)): |
|||||
¡®§ 票¥ 5.10. ।«®¦¥¨¥ 5.9 ¯®§¢®«ï¥â ¢¢¥á⨠᫥¤ãî饥 ®¡®§ 票¥. ᫨ |
|||||||
a 2 R, â® |
exp(i ) = cos + i sin : |
|
|||||
|
|
||||||
ª¨¬ ®¡à §®¬, âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª ï ä®à¬ ª®¬¯«¥ªá®£® ç¨á« z ¨¬¥¥â ¢¨¤ |
|||||||
|
z = jzj exp(i ): |
|
|
(33) |
|||
«¥¤á⢨¥ 5.11 ( ®à¬ã« |
® ¢à ). ãáâì z ¨§ (33) ¨ n 2 Z. ®£¤ |
||||||
|
zn = jzjn exp(ni ): |
|
|||||
cᬮâਬ ¢®¯à®á ®¡ ¨§¢«¥ç¥¨¨ ª®¬¯«¥ªáëå ª®à¥©. |
|
||||||
¯à¥¤¥«¥¨¥ 5.12. n |
z 2 C ¨ n 2 Z. ®à¥¬ n-®© á⥯¥¨ ¨§ z §ë¢ ¥âáï â ª®¥ |
||||||
ãáâì |
|
|
|
|
|
|
|
ª®¬¯«¥ªá®¥ ç¨á«® t, çâ® t = z.
©¤¥¬ ¢á¥ ª®à¨ á⥯¥¨ n ¨§ z. ãáâì z ¨§ (33), ¨ t = jtj exp(i ): ®£¤
âáî¤ jzj = jtjn, â. ¥.
â ª,
p
t = n jzj
|
p |
|
|
|
z = tn = jtjn exp(ni |
): |
|
||||
jtj = |
jzj. |
+ 2 m |
|
|
ni |
(mod 2 m); m 2 Z |
|
||||
|
n |
஬¥ ⮣®, |
|
|
|
. «¥¤®¢ ⥫ì®, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= |
|
|
|
; m = 0; 1; : : : ; n 1: |
|
|||||
cos |
|
|
n |
|
|||||||
|
n |
+ i sin +n |
|
; m = 0; 1; : : : ; n 1: |
|||||||
|
+ 2 m |
|
|
2 m |
|
|
|||||