Лекции МГУ Артамонов Линал

6 1.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.6. «¥¤ãî騥 ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï á¨á⥬ë (1) (¥¥ (à áè¨à¥­­®©) ¬ â- à¨æë) ­ §ë¢ îâáï í«¥¬¥­â à­ë¬¨:

} ¯à¨¡ ¢«¥­¨¥ ª ®¤­®¬ã ãà ¢­¥­¨î (áâப¥) ¤à㣮£® ãà ¢­¥­¨ï (¤à㣮© áâப¨),

㬭®¦¥­­®£®(®©) ­ ¯à®¨§¢®«ì­®¥ ç¨á«®; ~ 㬭®¦¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨¥ (áâப¨) ­ ­¥­ã«¥¢®¥ ç¨á«®.

¥®à¥¬ 1.7. à¨ í«¥¬¥­â à­ëå ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ïå ¯¥à¥å®¤¨¬ ª íª¢¨¢ «¥­â­®© á¨á- ⥬¥.

®ª § ⥫ìá⢮. ।¯®«®¦¨¬, çâ® ¬ë ᮢ¥àè ¥¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ⨯ }, ¨¬¥­­®, ª i-®¬ã ãà ¢­¥­¨î ¯à¨¡ ¢«ï¥¬ j-®¥, 㬭®¦¥­­®¥ ­ . ᫨ ( 1; : : : ; n) { à¥è¥­¨¥ ¨á室- ­®© á¨á⥬ë (1). ᥠãà ¢­¥­¨ï ­®¢®© á¨á⥬ë, ªà®¬¥ i-£®, ­¥ ¨§¬¥­¨«¨áì. ᫨ ¬ë ¯®¤áâ ¢¨¬ ­ ¡®à ( 1; : : : ; n) ¢ i-®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ­®¢®© á¨á⥬ë, â® ¯®«ã稬

(ai1 + aj1) 1 + + (ain + ajn) n =

(ai1 1 + + ain n) + (aj1 1 + + ajn n) = bi + + bj:

ª¨¬ ®¡à §®¬, ( 1; : : : ; n) ï¥âáï à¥è¥­¨¥¬ ­®¢®© á¨á⥬ë. ®áª®«ìªã ¨á室­ ï á¨á- ⥬ë (1) ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ­®¢®© á¨á⥬ë í«¥¬¥­â à­ë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥¬ ¯à¨¡ «¥­¨¥¬ ª i-®¬ã ãà ¢­¥­¨î j-£®, 㬭®¦¥­­®£® ­ , â® ­ «®£¨ç­®, ª ¦¤®¥ à¥è¥­¨¥ ­®¢®© á¨á⥬ë

ï¥âáï à¥è¥­¨¥¬ ¨á室­®© á¨á⥬ë.

¯à ¦­¥­¨¥ 1.8. ®ª § âì, ç⮠ᮢ¥àè ï í«¥¬¥­â à­ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï á® áâப ¬¨ ¬ âà¨æë ¬®¦­® ¢ ­¥© ¯¥à¥áâ ¢¨âì «î¡ë¥ ¤¢¥ áâப¨.

㤥¬ ¯à¨¢®¤¨âì ¬ âà¨æã á¨áâ¥¬ë ª ­ ¨¡®«¥¥ ¯à®á⮬ã { áâ㯥­ç ⮬㠢¨¤ã.¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.9. âà¨æ (3) ­ §ë¢ ¥âáï áâ㯥­ç ⮩, ¥á«¨

(1)­¨¦¥ ­ã«¥¢®© áâப¨ à ᯮ«®¦¥­ë ⮫쪮 ­ã«¥¢ë¥ áâப¨;

(2)¯¥à¢ë© ­¥­ã«¥¢®© ª ¦¤®© áâப¨ à ¢¥­ 1;

(3) ¥á«¨ ¯¥à¢ë© ­¥­ã«¥¢®© i-®© áâப¨ à ᯮ«®¦¥­ ­ ¬¥á⥠(i; ki), â®

(a)ki+1 > ki;

(b)¢á¥ í«¥¬¥­âë aj;ki = 0 ¤«ï ¢á¥å j 6= i.

¥®à¥¬ 1.10. ¦¤ ï ¬ âà¨æ ª®­¥ç­ë¬ ç¨á«®¬ í«¥¬¥­â à­ëå ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© áâப ¯à¨¢®¤¨âáï ª áâ㯥­ç ⮬㠢¨¤ã.

®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì ¬ âà¨æ A ¨¬¥¥â ¢¨¤ (3). ᫨ A = 0, â® ®­ 㦥 ¨¬¥¥â

áâ㯥­ç âë© ¢¨¤.

ãáâì A 6= 0. 㤥¬ ¢¥á⨠¤®ª § ⥫ìá⢮ ¨­¤ãªæ¨¥© ¯® ç¨á«ã áâப m. ¥§ ®£à ­¨ç¥-

­¨ï ®¡é­®á⨠¬®¦­® áç¨â âì, çâ® ¢ ¯¥à¢®¬ á⮫¡æ¥ ¥áâì ­¥­ã«¥¢®© í«¥¬¥­â ai1. ᫨ i = 1, ⮠㬭®¦¨¬ 1-ãî áâப㠭 a111. â ª, ¬®¦­® ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® a11 = 1. «¥¤®¢ ⥫쭮,

¥á«¨ m = 1, ⮠⥮६ ¤®ª § ­ .

ãáâì m > 1, ¨ ¤«ï m 1 ⥮६ ¤®ª § ­ . «ï ª ¦¤®£® i > 1 ¢ëç⥬ ¨§ i-®© áâப¨ ¯¥à¢ãî áâபã, 㬭®¦¥­­ãî ­ ai1a111. ­®¢®© ¬ âà¨æ¥ ¢á¥ ª®íää¨æ¨¥­âë ai1 = 0; i > 1.

бᬮва¨¬ ¯®¤¬ ва¨жг B ¢ A, ¯®«гз ойгобп ®в¡а бл¢ ­¨¥¬ ¯¥а¢®© бва®ª¨. ® ¨­¤гªж¨¨ ¬®¦­® бз¨в вм, зв® ¬ ва¨ж B ¨¬¥¥в бвг¯¥­з вл© ¢¨¤. гбвм ¢ ¬ ва¨ж¥ B ¯¥а¢л¥ ­¥­г«¥¢л¥ н«¥¬¥­вл а б¯®«®¦¥­л ¢ бв®«¡ж е б ­®¬¥а ¬¨ 1 < k2 < k3 < .ëç⥬ ¨§ ¯¥à¢®© áâப¨ 2-ãî áâபã, 㬭®¦¥­­ãî ­ a1;k2 , âà¥âìî áâபã 3-ãî áâபã, 㬭®¦¥­­ãî ­ a1;k3 , ¨ â. ¤.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.11. ãáâì ¬ âà¨æ á¨á⥬ë (1) ¨¬¥¥â áâ㯥­ç âë© ¢¨¤. §®¢¥¬ ­¥¨§¢¥áâ­ãî xi £« ¢­®©, ¥á«¨ ¢ ­¥ª®â®à®¬ ãà ¢­¥­¨¨ ¢á¥ ª®íää¨æ¨¥­âë ¯à¨ x1; : : : ; xi 1 à ¢­ë ­ã«ï, ª®íää¨æ¨¥­â ¯à¨ xi ®â«¨ç¥­ ®â ­ã«ï (¨ ¯®â®¬ã à ¢¥­ 1). ¢á¥ ®áâ «ì­ë¥ ­¥¨§¢¥áâ­ë¥ ­ §®¢¥¬ ᢮¡®¤­ë¬¨.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.21. ¨¬¢®« à®­¥ª¥à ij à ¢¥­ 1, ¥á«¨ i = j, ¨ 0, ¥á«¨ i 6= j. ¤¨- ­¨ç­ ï ¬ âà¨æ E = En 2 Mat(n) { íâ® ¬ âà¨æ , ¢ ª®â®à®© ­ ¬¥á⥠(i; j) á⮨â ᨬ¢®«à®­¥ª¥à ij.

।«®¦¥­¨¥ 1.22. ãáâì A 2 Mat(n m): ®£¤ EnA = A = AEm.

®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì A = (aij). ®£¤ ­ ¬¥á⥠(i; j) ¢ ¬ âà¨æ¥ EnA á⮨â

n

X

ikakj = iiaij = aij;

k=1

â. ¥. EnA = A:

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.23. ãáâì A 2 Mat(n m). ®£¤ âà ­á¯®­¨à®¢ ­­ ï ¬ âà¨æ tA =

®ª § ⥫ìá⢮. ®ª ¦¥¬, ­ ¯à¨¬¥à, ¯®á«¥¤­¥¥ ã⢥ত¥­¨¥. ¬ âà¨æ¥ t(AC) ­

PP

।«®¦¥­¨¥ 1.27. E Ers = jrEis:

®ª § ⥫ìá⢮. ¬¥á⥠(u; v) ¢ EijErs á⮨â í«¥¬¥­â

(

X( ui pj)( pi vs) = 1; u = i = p = j; v = s; 0 ¢ ¯à®â¨¢­®¬ á«ãç ¥.

p

âáî¤ ¢ë⥪ ¥â ã⢥ত¥­¨¥.

«¥¤á⢨¥ 1.28. ãáâì A = (ars) 2 Mat(n m). ®£¤

EijA = aj1Ei1 + + ajmEim;

AEij = a1iE1j + + anjEni:

¥®à¥¬ 1.29. â®¡ë ¢ ¬ âà¨æ¥ A 2 Mat(n m) ª i-®© áâப¥ ¯à¨¡ ¢¨âì j-ãî, 㬭®¦¥­­ãî ­ ­ã¦­® à áᬮâà¥âì ¬ âà¨æã (En + Eij)A.

®ª § ⥫ìá⢮. ® ¯à¥¤«®¦¥­¨ï¬ 1.18, 1.27, ã¯à ¦­¥­¨ï¬ 1.22, | ¨ á«¥¤á⢨î 1.28

(En + Eij)A = EnA + EijA =

P

A + (aj1Ei1 + + ajmEim) = rs arsErs + ( aj1)Ei1 + + ( ajm)Eim =

PP

r6=i;s arsErs + i;s(ais + ajs)Eis:

«¥¤á⢨¥ 1.30. â®¡ë ¢ ¬ âà¨æ¥ A 2 Mat(n m) ª i-®¬ã á⮫¡æ㠯ਡ ¢¨âì j-ë©, 㬭®¦¥­­ãî ­ ­ã¦­® à áᬮâà¥âì ¬ âà¨æã A(Em + Eji).

¡®§­ 祭¨¥ 1.31. ®«®¦¨¬ Di( ) = En + ( 1)Eii 2 Mat(n).

¥®à¥¬ 1.32. â®¡ë ¢ ¬ âà¨æ¥ A 2 Mat(n m) i-ãî áâபã (á⮫¡¥æ) 㬭®¦¨âì ­ ­ã¦­® à áᬮâà¥âì ¬ âà¨æã Di( )A (ADi( )).

¬¥ç ­¨¥ 1.33. â¥à¬¨­ å ¬ âà¨ç­®£® 㬭®¦¥­¨ï 㤮¡­® § ¯¨áë¢ âì á¨áâ¥¬ë «¨- ­¥©­ëå ãà ¢­¥­¨©. ¬¥­­®, á¨á⥬ë (1) ¨¬¥¥â ¢¨¤ AX = b, £¤¥ A { ¬ âà¨æ (2) á¨á⥬ë

(1),

0 1 x1

X = B ... C @ A

xn

{ á⮫¡¥æ ­¥¨§¢¥áâ­ëå,

0 1

b1

b = B ... C @ A

bm

{ á⮫¡¥æ ᢮¡®¤­ëå ç«¥­®¢.