§1.3. Отображения и их свойства

Определение 1.3.1.Назовём бинарное отношение функциональным, если для каждого сечениесодержит не более одного элемента.

Определение 1.3.2.Если отношение , симметричное к отношению, также является функциональным, то отношениеназываетсявзаимно однозначным.

Определение 1. 3.3.Если для каждого сечениесодержит ровно один элемент, то функциональное отношениевсюду определено.

С функциональным отношением непосредственно связано понятие отображения.

Определение1. 3.4.Отображение, обозначим его , сопоставляет каждому элементу, называемомуаргументом отображения, для которого сечение - непустое множество, единственный элементподмножествамножества. Этот элементназываетсяобразом элемента при отображении.

Множество тех элементов , для которых существует, называетсяобластью определения отображения .

Определение 1. 3.5.Если отображение определено на всём множестве, то говорят, что заданоотображение в .

Определение 1.3.6.Множество образов элементов при отображенииназываетсяобразом отображения. Если , тообразопределяется, как множество образов элементов

Определение 1. 3.7.Если образ совпадает со всем множеством , то говорят, что заданоотображение на , или что -сюръективное отображение, или сюръекция. (При этом требование всюду определённости не является обязательным).

Определение 1. 3.8.Если , то обозначаетпрообраз множества , т.е. множество тех элементов, для которых.

Отметим очевидные свойства образа и прообраза:

Определение 1.3.9.Если отношение является взаимно однозначным, то отображение, соответствующее, называетсяобратным к и обозначается. Если при этом отношениевсюду определено, тоназываетсяинъективным отображением, или инъекцией. Если, кроме того, отображениеещё и сюръективно, то оно называетсябиективным или биекцией.

Отметим, что выше мы использовали обозначение прообразаи в случаях, когда обратное котображениене существует. Если же обратное отображение существует, то прообразможно рассматривать, как образ множествапри отображении.

Наиболее часто встречающимся функциональным отношением является обычная функция , определённая на некотором подмножествечисловой прямой, значения которой образуют множество. Действительно, эту функциональную зависимость можно трактовать, как задание подмножества в множестве, в которое входят те пары, для которых выполнено равенствоИзображение этого множества пар на плоскости носит название графика функции.