Глава 2. Множество действительных чисел

В начале главы приводятся сведения о натуральных, целых, рациональных числах. Затем рассматриваются действительные числа. Вы можете задать вопрос: а зачем мне изучать теорию действительного числа? В большинстве книг, написанных для экономистов, этот раздел излагается вкратце и, кстати, очень понятно. Чем же хуже я и зачем мне изучать эти аксиомы и странные теоремы? Ответ: Вы не хуже, Вы будете лучше! Потому, что многие современные книги, в частности, написанные для экономистов, охватывают большие фрагменты теорий, понять которые, не зная теории действительного числа, лежащей в основе этих теорий, крайне трудно. В частности, основной инструмент математического анализа – предельный переход, без знания теории действительного числа получится туповатым…

§2.1. Натуральные числа

Натуральное число можно отнести к тем понятиям, которые интуитивно ясны каждому человеку и, разумеется, свойства этих чисел известны из курса средней школы. В этом параграфе мы напомним эти свойства

Сложение натуральных чисел обладает следующими свойствами:

1. (ассоциативность, или сочетательный закон).

2. (коммутативность, или переместительный закон).

Для натуральных чисел естественно вводится отношение порядкаменьше или равно, обозначаемое, и для любых чиселвыполняется либо соотношение, либо соотношение .

Отношение порядка обладает такими свойствами:

1. Если одновременно выполнены соотношенияи, то

2. Если и, то.

3. Если , то для всехвыполняется:+c.

Умножение натуральных чисел обладает следующими свойствами:

1. (ассоциативность, или сочетательный закон).

2. (коммутативность, или переместительный закон).

3. Если , то для всех натуральныхвыполняется: :c.

4. +(дистрибутивность умножения относительно сложения, или распределительный закон).

Множество натуральных чисел обозначается N.

Мы не будем подробно останавливаться на позиционных системах счисления, как средствах для изображения чисел. В школе, да и в большинстве вычислений, используется привычная десятичная система счисления. Отметим, однако, что в ряде задач более удобны, например, двоичная или троичная системы. Также в качестве примера изобразим число 100, записанное в десятичной системе, в двоичной системе:1100100

( так как )

§ 2.2. Целые числа

Потребности в вычислениях не позволяют ограничиться только натуральными числами. Например, решить простейшее уравнение считаянатуральным числом, невозможно. Естественно дополнить натуральные числа числом 0 и отрицательными числами. Число 0 , по определению, обладает следующими свойствами: для любого числавыполняются равенства.

Нетрудно доказать, что 0 определяется этими свойствами единственным образом. .В самом деле, если мы предположим, что есть два элемента, обладающих указанными свойствами, например, , то получим, что.

Точно также, для произвольного натурального числа определимпротивоположное ему целое число как такое число, что выполняется равенство, т.е. как решение уравненияНатуральные числа, им противоположные числа и число 0 образуют новое множество, называемоемножеством целых чисел. Множество целых чисел обозначается 𝒁.

Мы не будем подробно останавливаться на том, как операции сложения и умножения и отношение неравенства переносятся с множества натуральных чисел на множество целых чисел, считая это известным, а просто перечислим свойства целых чисел. Сложение целых чисел обладает следующими свойствами:

1. (ассоциативность, или сочетательный закон).

2. (коммутативность, или переместительный закон).

3. Существует нейтральный элемент по сложению, называемый 0, такой, что для любого целого числа выполняются равенства.

4. Для произвольного целого числа существуетпротивоположное ему число такое, что выполняется равенство.

Свойство 4 позволяет определить на множестве целых чисел операцию вычитания с помощью равенства.

С алгебраической точки зрения эти свойства означают, что множество целых чисел с введённой на нём операцией сложения образует коммутативную группу

Умножение целых чисел обладает следующими свойствами:

1. (ассоциативность, или сочетательный закон).

2. (коммутативность, или переместительный закон).

3. +(дистрибутивность умножения относительно сложения, или распределительный закон).

4. Существует нейтральный элемент по умножению, обозначаемый 1 такой, что =для любого целого числа.

С алгебраической точки зрения эти свойства означают, что множество целых чисел с введёнными на нём операциями сложения и умножения образует кольцо.

Для целых чисел естественно вводится отношение порядка меньше или равно, обозначаемое, и для любых целых чиселвыполняется либо соотношение, либо соотношение .

Отношение порядка обладает такими свойствами:

1. Если одновременно выполнены соотношенияи, то

2. Если и, то.

3. Если , то для всехвыполняется:+c.

4. Если , то для всех натуральныхвыполняется:,

а для всех отрицательных целых чисел- противоположное неравенство.

Для целых чисел можно определить понятие делимости. Говорят, что целое число делится на целое числобез остатка, если существует целое числотакое, что.(Обычно это обозначают следующим образом:.) Числоназывается делимым, число– делителем, число– частным от деления. Если жене делится на числобез остатка, то его можно единственным образом представить в виде, где.

Зафиксируем произвольное целое число и назовём два целых числасравнимыми по модулю (что обозначается), если разностьделится на. Легко видеть, определённое таким образом отношение обладает всеми свойствами отношения эквивалентности. Классы эквивалентности называютсяклассами вычетов по модулю , в качестве системы представителей можно взять всевозможные остатки от деления на, т.е. числа. Это множество обозначается.

Сумму вычетов иопределяем, как остаток от деления начисла,произведение вычетов иопределяем, как остаток от деления начисла _. Операции над вычетами обладают теми же свойствами, что и операции над целыми числами.