6.4.5. Вторая производная функции , заданной параметрически

Рассмотрим систему уравнений

(3)

где − дважды дифференцируемые функции на некотором промежутке; пусть, кроме того, функциястрого возрастает (или убывает) наи ни в одной точке этого промежутка производнаяне равна 0. В пункте 6.2.6 доказано, что в этом случае уравнения (3) задают функцию, и производная этой функции равна

= .

Найдём вторую производную функции:

=.

6.4.6. Дифференциалы высших порядков

Напомним, что если функциядифференцируема в точке, то

дифференциалом в точкеназывают линейную форму.

Аналогично, если функциядважды дифференцируема в точке, то

ее вторым дифференциалом называют квадратичную форму .

При условии, что существует ,n-ым дифференциалом

точке называется форма

_Для -го дифференциалав точкеиспользуют обозначение

. В пункте 6.3.1 установлено равенство используя

которое получим

=(4)

Форма (4) записи -го дифференциала не инвариантна уже при.

Действительно, подставляя вместо дифференцируемую функцию в левую

часть формулы (4) (при ), получим

(5)

а в результате такой же подстановки в правую часть формулы (4), имеем

(6)

Правые части формул (5) и (6) отличаются слагаемым , которое

равно нулю при условии, что. Это условие выполняется для линейной

функции . Отметим, что в этом случае и

поэтому формула (4) пригодна и в случае линейной функции .

§ 6.5. Эластичность и её свойства

Определение 6.5.1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки, дифференцируема в точкеи.Эластичностью функции в точке называется величина

(1)

Рассмотрим причину введения этого понятия. Если предположить, что , то можно рассматривать величину

, (2)

которая характеризует величину относительного изменения в результате соответствующего относительного изменения; например, процентное изменение спроса на товар в результате однопроцентного изменения цены этого товара. Тогда из (1) и (2) следует, что

Если , тоипо теореме о производной сложной функции. Если, то, поэтому при,.Обе эти формулы можно объединить в одну :

. (3)

Теорема 6.5.1.

1. Если , –функции, для которых определены эластичности и ,то:

(4)

2) Если для функции определённой на интервале, существует обратная функция, причёмдифференцируема на этом интервалеи ни в одной точкеинтервала не выполняется равенство, то для всехопределены величиныи, причём

(5)

Доказательство. По формуле (3)

Равенства (4) доказаны.

Далее, по теореме о производной обратной функции следовательно,

.

Равенство (5) доказано.

В качестве примера рассмотрим ценовую эластичность спроса.

Пусть– первоначальная цена товара,– первоначальное количество получаемой продукции, т.е. первоначальный спрос,изменение цены,соответствующее изменение спроса. Обычно при повышении цены, т.е. при, спрос на товар сокращается, т.е., поэтому

и, по теореме о предельном переходе в неравенствах,.

Величина эластичности в зависимости от цен представляет собой важную характеристику спроса на товар.

Спрос является эластичным, если . При этом уменьшение цен на 1% вызывает увеличение спроса меньше, чем на 1%.

При спросе с единичной эластичностью, т.е. когда , процент увеличения спроса равен проценту уменьшения цен товара.

Теорема 6.5.2. Пусть –выручка от реализации по цене продукции в объёме.Пусть – дифференцируемая функция. Если , т.е. если спрос эластичен, то с ростом цен выручка уменьшается, а с уменьшением цен – возрастает.

Если ,т.е. если спрос неэластичен, то с ростом цен выручка растёт, с уменьшением цен выручка уменьшается.

Если ,то выручка не меняется с изменением цен.

32