6.3.4.Дифференциал суммы, произведения и частного функций

В силу равенства (1) из любой формулы для производной в точке при

умножении на получается соответствующая формула для

дифференциала. В частности, в точках, где функции удовлетворяют

условиям теорем о дифференцируемости суммы, произведения или частного

получаем: ; аналогично,

.

Отметим, что если – постоянная, то

§6.4. Производные и дифференциалы высших порядков

6.4.1. Последовательные производные

Производная функции, в свою очередь, может иметь производную, которую называютвторой производной (или производной второго порядка) функции и обозначают обычно. Таким образом,. При этомназываютпервой производной (или производной первого порядка) функции . По индукции определяют (в предположении, что они существуют) производные следующих порядков:и т.д. Еслиимеет -ю производную (а значит, и производные всех меньших порядков) во всех точках некоторого промежутка, то говорят, чтоявляетсяраз дифференцируемой на промежутке .-ю производную функцииобозначают(в частности,). При этом удобно бывает считать, что сама функция равна своей производной нулевого порядка, т.е.Функцию, имеющую напроизводные всех порядков, называютбесконечно дифференцируемой на промежутке . Таковы, например, на всем множестве действительных чисел многочлены, показательные функции, тригонометрические функции. Для обозначения порядка производной, если он невелик, иногда используют римские цифры. Так,– четвертая производная функции

Вторая производная имеет важный механический смысл. А именно, если при прямолинейном движении материальная точка в момент времени прошла путь, топредставляет собой скорость движения точки в момент времени, а вторая производнаяэто скорость изменения скорости, илиускорение точки в момент времени .

Для некоторых бесконечно дифференцируемых функций легко указать формулу для вычисления -ой производной.

6.4.2. Примеры вычисления производных -ого порядка

1. . Поскольку , сделав предположение индукции о том, что при некоторомсправедливо равенство, получим, что. Итак, для всехвыполняется равенство

.

Отметим, что в случае из этой формулы следует, что=, а при получаем=

Кроме того, отметим полезную далее формулу

. (1)

Доказательство этой формулы точно такое же.

2. Так как для всехвыполняется равенство

(2)

3. Последовательно находим

.

Полученные равенства означают, что если то

. Легко проверить, что

и что .

Следовательно, справедлива формула

. (3)

4. Рассуждая аналогично, получаем, что для имеет место формула

. (4)

5. Так как , можно использовать далее формулу (1), из которой получаем

(5)

6.4.3. Линейное свойство производных высших порядков

Теорема 6.4.1. Для любого числа , любых функцийи(x), имеющих в точке производныеи, и для любых чисел, функция имеет в точке производную.

Доказательство. Каждая производная высшего порядка равна производной первого порядка от производной предыдущего порядка. Для производной первого порядка это равенство выполняется по теореме 6.2.1. Применяем метод математической индукции и убеждаемся в справедливости теоремы.

6.4.4. n-я производная произведения

Теорема 6.4.2.(Г. Лейбниц). Для любых функций и(x), имеющих в точке производныеи выполнено равенство:

(1)

_{Доказательство. Напомним обозначения:}, …

Используем метод математической индукции. Для утверждение справедливо по теореме 6.2.1:

=, так как

Пусть утверждение теоремы справедливо при некотором , и пусть существуют и Тогда, используя теорему 6.2.1,

. (2)

Преобразуем правую часть формулы (2), замечая, что в неё входят слагаемые вида с коэффициентами, равными

Докажем тождество: Действительно,

=

=

так что формула (1) верна, если заменить n на n+1 и теорема доказана.