6.2.6. Производная функции, заданной параметрически

Рассмотрим уравнения

(1)

где ,− дифференцируемые функции на некотором промежутке; пусть, кроме того, функциястрого возрастает (или убывает) наи ни в одной точке этого промежуткане равна 0. (Символиспользован здесь для обозначения производной функциипо переменной.)

Тогда, существует обратная функция , причем ее производная, по теореме 6.2.2, равна

Но тогда уравнения задают , и производная этой функции, по теореме6.2.3 о производной сложной функции. Используя равенство (2), окончательно получаем:

Часто вместо равенства (3) записывают равносильное ему равенство

Бывает также, что производные по параметру обозначают так:,. Тогда формула (3) принимает вид: .

§6.3. Дифференциал

6.3.1.Понятие дифференциала числовой функции

Определение 6.3. 1. Если числовая функция дифференцируема в

точке , то ее дифференциалом в этой точке называют

однородную линейную функциюот новой независимой переменной.

Таким образом,

(1)

Положив в формуле (1) , получим

(2)

так что дифференциал функции в каждой точкеесть

тождественная функция. Подставляя (2) в правую часть (1), получаем

, (3)

равенство двух линейных функцийи. Из него следует,

что часто используемое обозначение производнойможно рассматривать,

как отношение дифференциалови.

Функция определена для всех действительных значений.

Однако по традиции часто рассматривают лишь на множестве тех ,

для которых принадлежит области определения функции; т.е.,

лишь на множестве приращений аргумента функции. Это объясняется

тем, что дифференциал тесно связан с приращением функции.

Так как, по предположению, дифференцируема в точке, то

, (4)

где при и первое слагаемое в правой части (4) –

дифференциал, рассматриваемый для .

Если, то(),,поэтому говорят, что

«дифференциал есть главная линейная часть приращения функции».

6.3.2. Геометрический и механический смысл дифференциала

Пусть числовая функция дифференцируема в точке . Как известно,

ее график имеет в точке касательную с угловым коэффициентом .

Теорема 6.3.1. Значение дифференциала равно

приращению ординаты этой касательной при переходе от к .

Доказательство. Действительно,,поэтому

. Из рисунка также видно, что

есть часть приращения функции,

стремящаяся к совпадению с ним при .

Замечание. Дифференциал допускает и механическое толкование.

Если – время, апуть, пройденный прямолинейно движущейся

точкой к моменту , то ее скорость в данный момент.

Тогда величина равна длине пути, который прошла бы точка

за промежуток времени от до , если бы ее скорость

оставалась неизменной (т.е. приложенные силы уравновесились).

6.3.3. Инвариантность формы первого дифференциала

Правило дифференцирования сложной функции приведет нас к одному замечательному и важному свойству дифференциала.

Пусть функции итаковы, что из них может быть составлена сложная функция:. Если существуют производныеи, то по теореме 6.2.3 существует и производная

(5)

Дифференциал , еслисчитать независимой переменной, выразится по формуле (3). Перейдём теперь к независимой переменной; в этом предположении имеем другое выражение для дифференциала:

.

Заменяя производную её выражением (5) и замечая, чтоесть дифференциалкак функции от, окончательно получим:

,

т. е. вернёмся к прежней форме дифференциала.

Таким образом, мы видим, что

форма дифференциала может быть сохранена даже в том случае, если прежняя независимая переменная заменена новой.

Мы всегда имеем право писать дифференциал как в форме (1), будет линезависимой переменной или нет; разница лишь в том, что, если за независимую переменную выбрано, тоозначает не произвольное приращение, а дифференциалкак функции от. Это свойство и называютинвариантностью формы дифференциала.