6.2.2. Производные элементарных функций

.

1.Производная степенной функции , (где− любое вещественное число).

Область определения этой функции зависит от . Произведём рассуждения, предполагая, что, хотя аналогичные рассуждения справедливы в естественной области определения рассматриваемой функции. Имеем (при )

.

При пользуясь пределом

,

вычисленным в теореме 4.8 ,получим, полагая и замечая, что при такой замене выполнены условия теоремы о пределе сложной функции,

. Следовательно,

.

2.Производная показательной функции (,). Здесь

.

Используя предел

,

вычисленный в теореме 4.8, найдём:

.

В частности, если , то и.

Таким образом, скорость возрастания показательной функции ( при ) пропорциональна значению самой функции. Это характеризует рост показательной функции.

3. Производная логарифмической функции (,). В этом случае

.

Воспользуемся пределом

вычисленным в теореме 4.8:

.

Для натурального логарифма получается совсем простая формула:

при имеем.

4.Производные тригонометрических функций. Пусть , тогда

.

Функция непрерывна, кроме того,, поэтому

.

Аналогично, если , то.

В случае применима теорема 6.2.1 , по которой

Аналогично,

если , то.

6.2.3. Производная обратной функции

Докажем следующую общую теорему.

Теорема 6.2.2. Пусть функция возрастает(или убывает) и непрерывна на некотором промежутке и в точкеэтого промежутка имеет иотличную от нуля производную . Тогда для обратной функциив соответствующей точкетакже существует производная, равная.

Доказательство. Придадим значению приращение, тогда соответствующее приращениеполучит и функция. При, ввиду монотонности функции, также и. Поэтому

.

Если теперь , то, вследствие непрерывности функции, также и. Но знаменатель правой части стремится к пределу, следовательно, существует предел и для левой части, равный обратной величине. По определению, он равен производной.

Итак,

.

Легко выяснить геометрический смысл этой формулы. Производная есть тангенс угла, образованного касательной к графику функциис осью. График обратной функциисовпадает с графиком функциии имеет ту же касательную. Поэтому производнаяравна тангенсу угла, составленного той же касательной с осью(см. рис.) Таким образом, выведенная формула означает, что

.

.

Рассмотрим, например, функцию. Обратной для неё функцией является. Так как, то

, что и было установлено в 6.2.2 другим способом.

Доказанная формуларавносильна формуле.

6.2.4. Производные обратных тригонометрических функций

Рассмотрим функцию (). Для неё выполнены неравенства. Она является обратной для функции, имеющей для указанных значенийположительную производную. В таком случае существует также производнаяи равна, по нашей формуле,

;

корень мы берем со знаком плюс, так как при выполняется неравенство. Мы исключили значения, ибо для соответствующих значенийпроизводная.

Функция () служит обратной для функций. По нашей формуле

.

Аналогично можно получить:

производная функцииравна(),

производная функцииравна().

6.2.5. Производная сложной функции

Теорема 6.2.3.(Теорема о производной сложной функции). Пусть функция определена в окрестности точкии имеет в этой точке производную. Пусть функцияопределена в окрестностии имеет в точкепроизводную

Тогда сложная функция имеет производную, равную

.

Доказательство. Придадим приращениетакое, что соответствующее значениепринадлежит окрестности точки, в которой определена функция. Так как, по условию, дифференцируема в точке,

, где прии.

Так как дифференцируема в точке, выполнено равенство

,где . Как установлено в теореме 6.1.1, если, то и.

Поэтому

Так как при и,функции,−бесконечно малые, из этого равенства следует, что

что и требовалось доказать.