
- •Глава 6. Производные и дифференциалы
- •§ 6.1. Производная и её основные свойства
- •6.1.1. Дифференцируемость функции
- •6.1.2.Производная
- •6.1.3. Касательная к графику функции
- •§ 6.2. Вычисление производных
- •6.2.2. Производные элементарных функций
- •6.2.3. Производная обратной функции
- •6.2.4. Производные обратных тригонометрических функций
- •6.2.5. Производная сложной функции
- •6.2.6. Производная функции, заданной параметрически
- •§6.3. Дифференциал
- •6.3.1.Понятие дифференциала числовой функции
- •6.3.2. Геометрический и механический смысл дифференциала
- •6.3.3. Инвариантность формы первого дифференциала
- •6.3.4.Дифференциал суммы, произведения и частного функций
- •§6.4. Производные и дифференциалы высших порядков
- •6.4.1. Последовательные производные
- •6.4.3. Линейное свойство производных высших порядков
- •6.4.5. Вторая производная функции , заданной параметрически
- •6.4.6. Дифференциалы высших порядков
- •§ 6.5. Эластичность и её свойства
6.1.3. Касательная к графику функции
Как и нахождение скорости неравномерного движения, нахождение касательной к кривой линии - одна из основных задач, решение которых привело к созданию дифференциального исчисления. Рассмотрим частный случай задачи о касательной, когда линией служит график функции.
Определение
6.1.3.
Пусть числовая функция
определена на невырожденном промежутке
и непрерывна в его точке
(так что расстояние
от
соответствующей точки
графика
до его точки
,
,
стремится к нулю при
) .Касательной
к
графику функции
в точке
называют такую прямую, проходящую через
,
что отношение расстояния
от
точки
до
этой прямой к расстоянию
от
до
стремится к нулю при
(т.е. что
бесконечно
мало по сравнению с
при
).
(рис.
14). Таким образом, кривая, обладающая в
точке
касательной, почти сливается с ней
вблизи этой точки.
Теорема
6.1.4. Если
функция
,
определенная на промежутке, дифференцируема
в его точке
,
то график этой функции имеет в
соответствующей точке
касательную, причем угловой коэффициент
касательной равен
.
Доказательство. По условию и по теореме 6.1.2, равенство
,
(5)
выполняется
для всех
,
принадлежащих некоторой окрестности
точки
,
и
при
.
Прямая
с угловым коэффициентом
,
проходящая через точку
,
имеет уравнение
.
(6)
Пусть
- точка графика с абсциссой
и
(рис. 15),
-
проекция этой точки на прямую (6) и
- точка
этой прямой с абсциссой
.
Тогда
направленный отрезок
равен
,
так
что, вычитая (8) из (7), получаем
.
Так
как
,
а
,
то
.
Но
при
.
Следовательно,
при
,
т.е.
(7) - уравнение касательной к графику
функции
в
его точке
.
Таким образом, нахождение углового коэффициента касательной (как и нахождение скорости) приводит к вычислению производной.
Замечание
1.
Секущая
имеет
угловой коэффициент
(см. рис. ). Таким образом, теорема 6.1.4
показывает, что справедливо следствие.
Следствие.
Угловой
коэффициент касательной в точке
есть предел углового коэффициента
секущей
при
.
§ 6.2. Вычисление производных
6.2.1.Дифференцирование суммы, произведения и частного
Теорема 6.2.1
Пусть
имеет производную в точке
. Тогда для любой постоянной
справедлива формула:
(постоянный множитель можно вынести за знак производной).
Пусть
и
имеют производные в точке
.Тогда существует производная суммы этих функций, причём
.
Пусть
и
имеют производные в точке
.Тогда существует производная произведения этих функций, причём
.
Пусть
и
имеют производные в точке
и пусть
. Тогда существует производная частного этих функций, причём
.
Доказательство.
Приращение функции
в точке
равно
. По условию, существует
, следовательно, существует и
, что и требовалось доказать.
Приращение функции
в точке
равно
,
поэтому справедливы равенства
Аналогично, для произведения
имеем
При
выполняются
соотношения
следовательно, по теореме 3.3.1 получаем
Сначала докажем лемму
Лемма.
Пусть
имеют производную в точке
и пусть
Тогда
.
Доказательство леммы. Рассматриваемое приращение имеет вид:
По
лемме 3.3.2
предел функции
равен
.
Следовательно,
.
Лемма доказана.
Утверждение 4 теоремы 6.2.1 сразу следует из её утверждения 3 и доказанной леммы.