Задания для подготовки к контрольной работе

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

1. В ящике 10 одинаковых шаров, помеченных номерами от 1 до 10. Наудачу извлекают 5 шаров. Какова вероятность, что среди извлеченных шаров окажутся шары с номерами 3 и 5.

2. Вероятность того, что 1-й студент сдаст экзамен, равна 0,8, второй – 0,7. Найти вероятность того, что: a) ни один студент не сдаст экзамен; b) хотя бы один студент сдаст экзамен.

3. Вероятности посещения трех магазинов одинаковы. Вероятность того, что в первом магазине есть необходимый товар, равна 0,4, во втором – 0,7, в третьем – 0,9. В результате посещения трех магазинов нужный товар куплен. Найти вероятность того, что покупка произведена в первом магазине.

4. Вероятность того, что в течение дня расход воды в городе Ставрополе превысит норму, равна 0,2. Наблюдения проводятся в течение 4 дней. Найти вероятность того, что превышение нормы расхода воды будет наблюдаться не более чем в течение одного дня.

5. Дано распределение ДСВ. Построить многоугольник распределения. Определить числовые характеристики

	1	2	3	5	8	13
	0,2	0,05	0,05		0,5	0,1

6. Числа от единицы до девяти записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания карточки последовательно извлекаются и раскладываются в ряд. Найти вероятность того, что числа 3, 6 и 9 будут стоять рядом и в порядке возрастания.

7. Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказов элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно отказа хотя бы одного элемента.

8. От своей остановки до учебного заведения студент может с одинаковой вероятностью доехать на одном из трех видов транспорта: троллейбусе, автобусе или маршрутке. Вероятность приехать вовремя на троллейбусе равна 0,5, на автобусе – 0,7, а на маршрутке – 0,9. Найти вероятность того, что студент на занятия не опоздает.

10. Вероятность сбоя в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,01. На станцию поступило 12 вызовов. Найти вероятность того, не было принято более двух вызовов.

11. Из партии в 20 изделий, среди которых имеется 6 бракованных, выбраны случайным образом 3 изделия для проверки их качества. Составить закон распределения числа бракованных изделий среди отобранных. Построить многоугольник распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию.

12. В коробке 12 карандашей различных цветов. Наудачу извлекают 3 карандаша. Какова вероятность того, что среди извлеченных карандашей окажется красный.

13. Два студента ищут нужную им книгу в каталогах библиотеки. Вероятность того, что книга будет найдена первым студентом, равна 0,5, вторым – 0,7. Какова вероятность того, что книга будет найдена хотя бы одним студентом.

14. В первой урне 4 белых шаров и 3 черных, во второй – 2 белых и 3 черных, в третьей – 5 белых и ни одного черного. Из взятой наугад урны извлекается один шар. Оказалось, что этот шар черный. Найти вероятность того, что он извлечен из третьей урны.

15. Что вероятнее выиграть у равносильного противника в шахматы: три партии из четырех или пять из восьми?

16. Автомобиль встретит четыре светофора, каждый из которых пропустит его с вероятностью 0,5. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение X-числа светофоров до первой остановки машины.

17. Группа, состоящая из 8 человек, занимает места с одной стороны прямоугольного стола. Найти вероятность того, что Саша и Петя окажутся рядом, если число мест равно 12.

18. Два орудия производят залп по цели. Вероятности попадания в цель первого орудия 0,8, второго – 0,7. Найти вероятности следующих событий: a) два попадания в цель; b) хотя бы одно попадание в цель.

19. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность брака для первого автомата равна 0,03, для второго – 0,01. Производительность первого автомата вдвое больше, чем второго. Взятая для проверки с конвейера деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена первым автоматом.

20. Завод выпускает изделия, из которых 80% стандартных. Какова вероятность при отборе 10 изделий обнаружить более двух стандартных изделий.

21. Вероятность выполнения студентом домашней работы равна 0,8. Найти дисперсию случайной величины x-числа выполненных домашних работ, если всего было необходимо выполнить 7 домашних работ.

22. В группе 25 студентов, среди которых 13 девочек и 12 мальчиков. Для работ в библиотеке наудачу выбираются 6 человек. Какова вероятность того, что среди выбранных студентов окажется равное количество мальчиков и девочек.

23. Вероятность безотказной работы двух независимо работающих сигнализаторов на железной дороге соответственно равна 0,9 и 0,8. Найти вероятность того, что в нужный момент сработает хотя бы один сигнализатор.

24. Имеется три одинаковые по количеству партии товара: в первой партии 5% бракованных изделий; во второй – 3%; в третьей 4 %. Весь товар из трех партий поступил в продажу. Покупатель приобрел одно изделие. Найти вероятность того, что оно – бракованное.

25. Известно, что в данном селе в 80% домов проведены телефоны. Найти вероятность того, что среди 6 случайно отобранных домов 2 окажутся без телефонов.

26. Дано распределение ДСВ. Построить многоугольник распределения. Определить числовые характеристики

	3	4	5	8	10	10
	0,5	0,05	0,15		0,05	0,1

27. Партия содержит 10 изделий, среди которых 3 бракованных. Наудачу извлекают два изделия для контроля. Какова вероятность того, что среди отобранных изделий не будет ни одного бракованного изделия.

28. Экспедиция издательства отправила газеты в два почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки в первое отделение равна 0,9, во второе – 0,8. Найти вероятности того, что оба отделения получили газеты вовремя.

29. В цехе два конвейера, с которых сходят одинаковые детали и сбрасываются в общую кучу. Вероятность того, что деталь с первого конвейера нестандартна, равна 0,03, со второго – 0,02. Производительности этих конвейеров соотносятся, как . Взятая наугад деталь оказалась нестандартной. Найти вероятность того, что она сошла со второго конвейера.

30. При каждом выстреле орудия вероятность поражения цели равна 0,6. Найти вероятность того, что из 5 выпущенных снарядов цели достигнут не более 3.

31. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента 0,15. Составить закон распределения отказавших элементов. Построить многоугольник распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию.

32. Из букв русского алфавита наудачу составляется новый алфавит, содержащий десять букв. Найти вероятность того, что в состав нового алфавита входят только согласные буквы.

33. В двух партиях 95% и 90% стандартных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружения среди них хотя бы одного бракованного.

34. На автозавод поступили шины от трех заводов. Причем количество поступивших шин соотносится как . Вероятность соответствия стандарту для каждого завода равна: 0,9;0,8;0,7. Взятая наугад шина оказалась годной. Найти вероятность того, что она изготовлена первым заводом.

35. Монету подбрасывают пять раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не менее двух раз.

36. Вероятность опоздания на самолет для каждого пассажира равна 0,02. Найти дисперсию случайной величины Х – числа опоздавших на самолет пассажиров, если их было 560 человек.

37. В студенческом совете факультета 2 первокурсника, 6 второкурсников и 7 третьекурсников. Из этого состава выбирают 4 человека на предстоящую конференцию. Найти вероятность того, что на конференцию попадут все первокурсники и два третьекурсника.

38. Вероятность того, что цель будет поражена первым стрелком, равна 0,7, вторым – 0,6. Найти вероятность того, что в цель попадет только один стрелок.

39. В группе 25 студентов. Из них отличников – 4, хорошистов – 6, троечников – 12, остальные двоечники. Вероятность сдачи экзамена отличником – 0,95, хорошистом – 0,8, троечником – 0,6, двоечником – 0,2. Какова вероятность того, что произвольно взятый студент сдаст экзамен.

40. В семье пять детей. Вероятность рождения мальчика и девочки одинаковы. Найти вероятность того, что среди этих детей не более двух мальчиков.

41. Вероятность того, что аудитор допустит ошибку при проверке бухгалтерского баланса, равна 0,05. Аудитору на заключение представлено 2 баланса. Составить закон распределения числа правильных заключений на проверяемые балансы. Построить многоугольник распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию.

42. Группа, состоящая из 8 человек, занимает места за круглым столом в случайном порядке. Какова вероятность того, что при этом Аня и Таня окажутся сидящими рядом.

43. Два спортсмена должны выполнить норму мастера спорта. Вероятность того, что первый спортсмен выполнит, норму равна 0,9, второй – 0,8. Найти вероятность того, что норма выполнена: a) обоими спортсменами; b) хотя бы одним спортсменом.

44. Сообщение можно передать письмом, по телефону или на словах с одинаковой вероятностью. В каждом из перечисленных способов вероятность того, что сообщение дойдет, соответственно равна 0,7; 0,6; 0,8. В итоге сообщение все же было доставлено. Найти вероятность того, что оно доставлено письмом.

45. Десять осветительных лампочек для новогодней елки включены в цепь параллельно (лампочки не влияют друг на друга). Вероятность сгорания для одной лампочки равна 0,2. Определить вероятность, что при повышении напряжения перегорит более 2-х лампочек.

46. Вероятность сбоя АТС равна 0,1. Составить закон распределения числа сбоев, если в данный момент поступило 5 вызовов. Построить многоугольник распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию.

47. Из колоды в 52 карты извлекаются наудачу 3 карты. Найти вероятность того, что в полученной выборке окажутся две карты бубновой масти.

48. Два спортсмена участвуют в отборочных соревнованиях. Вероятность зачисления в сборную команду первого и второго спортсменов соответственно равны 0,8; 0,6. Найти вероятность того, что хотя бы один из спортсменов попадет в сборную.

49. Поломка прибора может быть вызвана одной из трех причин, вероятности которых соответственно равны 0,7; 0,2; 0,1. При наличии этих причин поломка происходит соответственно с вероятностями 0,1; 0,2; 0,2. Найти вероятность того, что прибор выйдет из строя. Если произошла поломка прибора, то найти вероятность того, что она произошла по второй причине.

50. Десять осветительных лампочек для елки включены в цепь последовательно (при сгорании хотя бы одной лампочки не работает вся цепь). Вероятность сгорания для одной лампочки равна 0,2. Определить вероятность разрыва цепи при повышении напряжения в сети.

51. В магазин привезли арбузы из Ташкента. Вероятность покупки неспелого арбуза равна 0,2. Куплено 3 арбуза. Составить закон распределения спелых арбузов среди купленных. Построить многоугольник распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию.

52. Среди ста лотерейных билетов 6 выигрышных. Найти вероятность того, что все три наугад купленные билета окажутся выигрышными.

53. Два охотника стреляют уток. Для первого охотника вероятность попадания в цель равна 0,7, для второго – 0,6. Какова вероятность попадания в утку хотя бы одним охотником.

54. Из 1000 ламп 300 принадлежат первой партии, 500 – второй и 200 – третьей. В первой партии 6%, во второй 5% и в третьей 4% бракованных ламп. Извлеченная наугад лампа оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она принадлежит второй партии.

55. Вероятность, что покупателю потребуется обувь 40-го размера,

равна 0,4. В магазин одновременно вошли три покупателя. Найти

вероятность того, что обувь 40-го размера потребуется более чем

2-м покупателям.

56. Проводят контроль знаний в группе из 5 студентов. Подготовленность (в среднем) составляет 45 из 60 вопросов. Случайная величина Х – число человек правильно ответивших на вопрос. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение данной случайной величины.

57. Из урны, содержащей 4 мяча с номером 1, пять мячей с номером 2 и 3 мяча с номером 3, наудачу извлекают 4 мяча. Найти вероятность того, что среди извлеченных мячей не будет ни одного с номером 2.

58. В сессию студент должен сдать экзамены по истории и логике и зачет по математике. Вероятность сдать вовремя историю равна 0,9, логику – 0,7, математику – 0,6. Найти вероятность того, что по окончанию сессии у этого студента не останется ни одной задолжности.

59. В магазин поступили изделия с трех заводов, среди которых 30% с первого, 50% - со второго, 20% - с третьего. Среди изделий первого завода первосортных 80%, второго - 90%, третьего – 70%. Куплено одно изделие. Определить вероятность того, что оно первосортное.

60. В ячейку памяти ЭВМ записывается 8-ми разрядное двоичное число. Значения 0 и 1 появляются с одинаковой вероятностью. Найти вероятность того, что в записи двоичного числа будет более пяти единиц.

61. Вероятность того, что отдел закрыт по техническим причинам, равна 0,05. Найти дисперсию случайной величины X-числа закрытых отделов в магазине, если всего в магазине 8 отделов.

62. В магазин поступило 20 пылесосов, среди которых 2 повредили при перевозке. Детский сад покупает три пылесоса. Какова вероятность того, что среди купленных пылесосов не будет ни одного бракованного.

63. В каждом из трех ящиков находится по 30 деталей. В первом ящике 27 стандартных деталей, во втором – 28, в третьем – 25. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Какова вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

64. Прибор, установленный на борту самолета, может работать в двух режимах: нормальном полете и в условиях перегрузки при взлете и посадке. Режим полета осуществляется в 80% всего времени полета, условия перегрузки – в 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время полета в нормальном режиме равна 0,1, в условиях перегрузки – 0,4. Определить вероятность того, что прибор откажет во время полета.

65. Пять незнакомых студентов одновременно зашли в книжный магазин. Вероятность, что каждому из этих студентов потребуется книга по математике, равна 0,3. Найти вероятность того, что книга по математике потребуется двум из них.

66. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х – числа выигрышей в 6 партиях, если вероятность выигрыша для игрока равна 0,45.

67. Среди 100 лотерейных билетов 2 являются выигрышными. Мальчик приобрел 5 билетов. Какова вероятность того, что среди приобретенных билетов окажется один выигрышный.

68. Монета подбрасывается три раза. Какова вероятность того, что хотя бы один раз выпадет орел.

69. Однотипные приборы выпускаются тремя заводами в количественном соотношении 1:2:3, причем вероятности брака для этих заводов соответственно равны 0,1;0,1;0,2. Прибор, приобретенный научно-исследовательским институтом, оказался бракованным. Найти вероятность того, что он произведен вторым заводом.

70. Всхожесть семян огурцов равна 0,8. Какова вероятность того, что из 20 посеянных семян взойдут не менее 3-х.

71. Партия содержит 20 телевизоров, среди которых шесть с дефектом. Купили два телевизора. Составить ряд распределения исправных телевизоров среди купленных. Построить многоугольник распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию.

72. На станцию прибыли 10 вагонов, среди которых два с запрещенной продукцией. Для контрольного вскрытия случайным образом отбираются 3 вагона. Найти вероятность того, что отобранных вагонов не будет ни одного с запрещенной продукцией.

73. В урне находится 8 красных и 6 голубых шаров. Из урны последовательно без возвращения извлекаются три шара. Найти вероятность того, что все три шара голубые.

74. В мастерскую поступают заявки на ремонт холодильников и стиральных машин в соотношении 2:3. Вероятность качественного ремонта для холодильников 0,8, стиральных машин – 0,9. Проведена проверка качества ремонта одного технического средства. Оказалось, что оно отремонтировано отлично. Найти вероятность того, что это холодильник.

75. Обувной магазин продал 200 пар обуви. Вероятность того, что в магазин будет возвращена бракованная пара, равна 0,01. Найти вероятность того, что из проданных пар обуви будет возвращено более 2-х пар.

76. Найти математическое ожидание, дисперсию случайной величины Х распределенной равномерно в интервале (2; 8).