38 Хемминг кодтары (Hamming codes)

Хемминг кодтары (Hamming codes) - бұл келесідей құрылымы болатын блокты кодтардың қарапайым класы: 

,                                                  (1)

мұндағы m= 2,3,.. Осы кодтардың минималды қашықтығы 3, сондықтан олар барлық бірбитті қателерді түзете алады немесе блоктағы барлық екі не одан аз қателер комбинациясын таба алады.  Хемминг кодтарына синдромдар көмегімен декодалау оңай жүзеге асады.  Фактілі түрде синдромды қатенің орналасуының екілік көрсеткішіне айналдыруға болады.  Бірақ Хемминг кодтары қатты қуатты болып табылмайды, олар блокты кодтардың өте  шектелген класына жатады.  Циклдік кодтар. Сызықты блокты кодтардың маңызды класстар ішіндегі  болып  екілік циклдік кодтар табылады  (cyclic codes). Сызықты код (n, к)  циклдік деп аталады, егер  ол  келесі қасиетке ие болса.   Егер n-кортеж U= (u0, u1, и2, …, un-1)  S кеңістік ішіндегі  кодтық сөз болса, онда U(1)=(un-1, u0, u1, и2,..., un-1),  циклдық ығысудың көмегі арқылы U-дан алынған S-да да кодтық сөз болып табылады.  Немесе  жалпы алғанда  U(i)=(un-i;. un-i+1,…, un-1, u0, u1,… un-i-1), алынған i циклдық ығысулармен  S-те кодтық сөз болып табылады.

Файра циклдік коды. Қателер жинағын табатын және түзететін циклдік кодтар (Файра кодтары). b ұзындықты қателер жиынтығын шеткі разрядтардың арасындағы бөгеттермен бұзылған b-2 разряды бар бөгет комбинациясының түрін түсінеді. Мысалы, b=5 кезінде бөгеттер комбинациясы, яғни қателер жиыны  келесі түрде болуы мүмкін: 10001 (тек шеткі екі символдар ғана бұзылған), 11111 (барлық символдар бұзылған ), 10111, 11101, 11011 (тек бір ғана символ бұзылмаған), 10011, 11001, 10101 (үш символ бұзылған). Файра кодтары b ұзындықты қателер жиынын түзете алады және b ұзындықты қателер жиынын таба алады.

Боуза-Чоудхури-Хоквингэм кодтары. Бұл кодтарды Боуз, Чодхури и Хоквингэм (қысқартылғанда БЧХ кодтары)  құрастырған, осы кодтар кез-келген қателер санын тауып, түзей алады. БЧХ кодтарың қателерді табу үшін келесі тәсілмен құрайды. Егер жұп санды қателерді табатын код құру қажет болса, онда берілген  r саны бойынша d және s мәндерін табады.  Егер тақ санды қателерді табатын код құру қажет болса, онда  жақын аз бүтін  s санын табады және алдыңғы жағдайдағыдай кодтау жүргізіледі: көпмүшені қосымша екі мүшеге  көбейтеді. Мысалы, n=15 кезіндегі  жеті қатені табатын код құру керек. Осыдан  d=8 , ал ең жақын аз шама s=3. Енді көпмүшеніанықтаймыз және оны екімүшегекөбейтеміз, яғниаламыз. Осындай тәсілмен БЧХ(15,4) коды құрылады.

39. Кодалық қашықтық жəне кодтың түзету қабілеті

Кодалық қашықтық - бұл кез-келген кодалық комбинация басқасынан ажыратылатын  элементтердің минималды саны. Мысалы, код мынандай комбинациялардан тұрады:  1011, 1101, 1000 және  1100. Бірінші екі комбинацияны салыстыра отырып  d=2  табамыз. Ең үлкен шама d=3 бірінші және төртінші комбинацияларын салыстырғанда табылады, ал ең кішісі  d=1 екінші және төртінші, үшінші және төртінші  комбинацияларды салыстырғанда табылады. Үш өлшемді кубта бір-бірінен d=3-ке ажыратылатын кодалық белгілері бар шыңдарды таңдайық. Бұндай шыңдар кубтың кеңістік диагоналдарының ұштарында орналасады.  Олар тек төрт жұпты болады: 000 және 111, 001 және 110, 100 және 011, 010 және 101.  Осындай ережемен  жасалған код дара қатені түзете алады немесе екі дара қатені таба алады.

Кодтың түзету қабілеті кодалық қашықтыққа байланысты: а) d=1 кезінде қате табылмайды; б)  d=2 кезінде дара қателер табылады; в)  d=3 кезінде дара қателер түзетіледі немесе екілік қателер табылады. Жалпы жағдайда

 ,                                             (1)

мұндағы    d - минималды кодалық қашықтық,      r - табылған қателер саны,

s - түзетілген қателер саны. Сонымен  r≥s қажетті шарт болып табылады.