Исследование спектров сигналов

Цель работы: исследование формы и спектра гармонических сигналов и периодических последовательностей импульсов. Формирование навыков спектрального анализа сигналов на ПК.

Краткие сведения из теории

Рассмотрим несколько примеров периодических колебаний, часто используемых в различных радиотехнических устройствах.

Прямоугольное колебание (рисунок 2.2)

Подобное колебание, часто называемое меандром (греческое слово, обозначающее орнамент), находит широкое применение в измерительной технике.

При выборе начала отсчета времени по рисунку 2.1, а функция является нечетной, а по рисунку 2.2, б - четной. Применяя формулы

(2.1)

находим для колебания, изображенного на рисунке 2.1, а,

(2.2)

Учитывая, что , получаем

0, при n = 0, 2, 4, …

, при n = 1, 3, 5, … (2.3)

Начальные фазы в соответствии сравныдля всех гармоник.

Запишем ряд Фурье в тригонометрической форме:

(2.4)

При отсчете времени от середины импульса (рисунок 2.3, б) функция является четной относительно t и для нее

(2.5)

Графики 1-й (п = 1) и 3-й (п = 3) гармоник и их суммы изображены на рисунок 2.3, а. На рисунке 2.3, б эта сумма дополнена пятой гармоникой, а на рисунке 2.3, в - седьмой.

С увеличением числа суммируемых гармоник сумма ряда приближается к функциивсюду, кроме точек разрыва функции, где образуется выброс. Привеличина этого выброса равна 1,18E, т. е. сумма ряда отличается от заданной функции на 18%. Этот дефект сходимости в математике получил название явления Гиббса. Несмотря на то, что в рассматриваемом случае ряд Фурье не сходится к разлагаемой функции в точках ее разрыва, ряд сходится в среднем, поскольку привыбросы являются бесконечно узкими и не вносят ни какого вклада в величину интеграла.

Пилообразное колебание (рисунок 2.4)

С подобными функциями часто приходится иметь дело в устройствах для развертки изображения в осциллографах. Так как эта функция является нечетной, ряд Фурье для нее содержит только синусоидальные члены. С помощью формулы

(2.6)

нетрудно определить коэффициенты ряда Фурье, Опуская эти выкладки, напишем окончательное выражение для ряда

(2.7)

Как видим, амплитуды гармоник убывают по закону , где

На рисунке 2.4 показан график суммы первых пяти гармоник (в увеличенном масштабе).

Последовательность униполярных треугольных импульсов (рисунок 2.6)

На рисунке 2.6 изображена сумма первых трех членов этого ряда. В данном случае отметим более быстрое убывание амплитуд гармоник, чем в предыдущих примерах. Это объясняется отсутствием разрывов (скачков) в функции.

Ряд Фурье для этой функции имеет следующий вид:

(2.8)

Последовательность униполярных прямоугольных импульсов (рисунок 2.7)

Применяя формулы

,

находим среднее значение (постоянную составляющую)

(2.9)

и коэффициент n-й гармоники

Так как функция четная, и. Таким образом,

(2.10)

Величина называется скважностью импульсной последовательности. При больших значенияхN спектр сигнала содержит очень большое число медленно убывающих по амплитуде гармоник (рисунок, 2.8). Расстояние между спектральными линиями очень мало, а амплитуды соседних гармоник близки по величине. Это в данном случае удобно представить в несколько измененном виде

При малых значениях п можно считать

(2.11)

Постоянная составляющая, равная , вдвое меньше амплитуды первой гармоники. При построении спектра коэффициентоввеличинаприближенно равнялась бы.