Финансовые рынки ОЗО / ЛЕКЦИИ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА / Опционы и фьючерсы - Методическое пособие - Балабушкин - 2004 - 105
.pdf
ПРИЛОЖЕНИЕ А. СВОДКА ФОРМУЛ
Ниже используются те же обозначения, что и в главе 6, φ ( x ) является функцией плотности
стандартного нормального распределения: |
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
φ |
( x ) = |
|
1 |
|
|
e |
− |
||
|
|
|
2 . |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
2 |
π |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Коэффициенты чувствительности определяются как частные производные по формуле (9.2) (то есть без нормирующих коэффициентов). Если коэффициенты для опционов колл и пут различаются, то даются два коэффициента с нижними индексами c или p соответственно.
А.1. БЕЗДИВИДЕНДНАЯ АКЦИЯ
|
|
|
Cаес = SN(d ) − Ee−rT N(d |
2 |
), |
|
Pаес |
|
|
= Cаес + Ee−rT |
−S, |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
+ (r |
+ 0.5σ |
2 |
)T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
−0.5σ |
2 |
)T |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
+ (r |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
d1 |
|
= |
|
E |
σ |
T |
|
|
|
|
, |
|
d2 |
= |
|
|
|
|
E |
T |
|
|
|
|
, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∆c = N (d1 ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆p = −N(−d1 ), |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Γ |
|
= |
|
φ ( d 1 ) |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Θ c |
= − |
S σφ (d1 ) |
− rEe −rT |
N ( d 2 ), |
|
|
|
Θ p |
= − |
|
S σφ ( d1 ) |
+ rEe −rT N ( −d 2 ) , |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
T |
|
|
|
|
2 T |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vega |
|
|
= S |
T φ (d1 ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ρc |
= TEe−rT N (d2 ), |
|
|
|
|
ρp |
|
= −TEe−rT N (−d2 ). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Для дивидендной акции выражения Cаес, |
Pаес, |
|
∆c , |
∆p , |
Γ сохраняются с заменой S на S див . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А.2. ВАЛЮТА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Cвес |
= Se−rвT N(d ) − Ee−rT N(d |
2 |
), |
Pвес |
= Cвес + Ee−rT −Se−rвT , |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
+ (r − rB |
+ 0.5σ |
2 |
)T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
−0.5σ |
2 |
)T |
||||||||||||||
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
+ (r − rB |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
d1 = |
|
|
E |
|
σ T |
|
|
|
|
|
|
, |
d2 = |
|
|
|
|
E |
|
T |
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
∆c = e − rвT N (d1 ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ p = e− rвT N (−d1 ), |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Γ = e − rвT |
φ ( d 1 ) |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S σ |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Θ |
c |
= −e rвT |
Sσφ (d1 ) |
+ r Se −rвT N (d |
1 |
) − rEe −rT |
N (d |
2 |
), |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
T |
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Θ |
p |
|
= −e−rвT |
Sσφ (d1 ) − r Se |
−rвT N (−d |
1 |
) + rEe −rT |
N (−d |
2 |
), |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
T |
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vega |
= e−rвT S |
T φ (d1 ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ρc |
= TEe−rT N (d2 ), |
|
|
|
|
|
|
|
ρp |
= −TEe−rT N (−d2 ), |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ρв = −TEe−rвT N(d ), |
|
|
|
|
|
|
ρв |
=TEe−rвT N(−d ). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
100 |
А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» |
В последних двух формулах ρcв и ρвp обозначают коэффициенты чувствительности по отношению к валютной процентной ставке rв .
А.3. ОПЦИОН НА ФЬЮЧЕРС С УПЛАТОЙ ПРЕМИИ
C фес = e−rT [FN (d1 ) − EN (d2 )], |
Pфес |
|
= C фес |
+ e−rT [E − F ], |
|||||||||||||
|
|
|
F |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
−0.5σ |
2 |
|
|
ln |
|
+ 0.5σ T |
|
|
|
|
|
ln |
|
T |
|
|||||
d1 = |
|
|
E |
T |
, |
|
|
d2 = |
|
|
|
E |
T |
, |
|
||
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
||
∆ |
c |
= e−rT |
N (d |
), |
|
|
∆ |
p |
= −e−rT N(−d ), |
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
Γ = e |
− rT |
φ ( d 1 ) |
|
, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
F σ |
T |
|
|
|
|
|
|
|
||
Θc = −e −rT F σφ (d1 ) + rC фес , |
|
|
Θ p |
= −e −rT |
F σφ (d1 ) |
+ rP фес , |
|||||||||||
|
2 |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
T |
|
|
|
|
|
Vega = e −rT F |
T φ (d1 ), |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
ρc = −TCфес, |
|
|
ρp |
|
= −TPфес. |
|
|
|||||||
А.4. ОПЦИОН НА ФЬЮЧЕРС БЕЗ УПЛАТЫ ПРЕМИИ
В выражениях раздела А.3 следует всюду положить r=0, за исключением ρc , ρp , которые в этом случае просто равны нулю.
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. КВАДРАТИЧНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ
Ниже приняты следующие обозначения:
•b=0 для опциона на бездивидендную акцию,
•b=rB для опциона на валюту,
•b=r для опциона на фьючерс с уплатой премии,
|
|
|
K =1−e−rT , M = |
2r |
, |
|
|
|
|
σ2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
q |
= 0.5 1 |
− N − |
(1− N )2 + 4 |
M , |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
N= 2(r −b) ,
σ2
q |
2 |
= 0.5 1 |
− N + |
(1− N )2 + 4 |
M . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
Б.1. АМЕРИКАНСКИЙ ОПЦИОН КОЛЛ НА ФЬЮЧЕРС
|
|
F |
−b + 0.5σ2 )T |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ln |
+ (r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Обозначим h = |
|
E |
|
|
, U - решение уравнения |
|
|
|
|
|
|||
|
σ |
T |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
F − E = C |
фес |
(F) − |
1−e−bT N[h(F)] |
F |
|
|
|
|
(Б.1) |
|
|
|
|
|
q2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
относительно переменной F (решение ищется численным методом), |
A |
= |
1−e−bT N |
[h(U )] |
U . |
||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда Cфас = F − E, если F≥U;
101 |
А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» |
Cфас(F) = Cфес(F) + A |
F q2 |
, |
если F<U. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Б.2. АМЕРИКАНСКИЙ ОПЦИОН ПУТ НА ФЬЮЧЕРС |
|
||||||||||||||||
Аналогом уравнения (Б.1) в этом случае является |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
E − F = P |
фес |
(F) − |
1 |
−e−bT N[−h(F)] |
F, |
(Б.2) |
|||||||||||
|
|
|
|
q1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решение которого относительно F также обозначим U, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
A |
= − |
1−e−bT N[−h(U )] |
U . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
q1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда Pфес = E − F, если F<U, |
Pфас(F) = Pфес(F) + A |
F q1 |
, если F≥U. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|||
Б.3. АМЕРИКАНСКИЕ ОПЦИОНЫ НА БЕЗДИВИДЕНДНУЮ АКЦИЮ И ВАЛЮТУ
Все выражения аналогичны выражениям пп. Б.1, Б.2 с тем замечанием, что следует исключить из рассмотрения опцион колл на бездивидендную акцию, стоимость которого не отличается от стоимости европейского опциона (в этом случае уравнение (Б.1) не имеет решения).
ЛИТЕРАТУРА
1.FORTS – фьючерсы и опционы в РТС. Методическое пособие.
2.А.Н. Буренин. Рынки производных финансовых документов. Москва, ИНФРА-М, 1996.
3.А.В. Васютович, Ю.Н. Сотникова. Рыночный риск: измерение и управление. Банковские Технологии, N1, 1998.
4.Галиц Л. Финансовая инженерия: инструменты и способы управления финансовым риском. М., «ТВП». 1996.
5.Колб Р.У. Финансовые деривативы. Москва, Филинъ, 1997.
6.Маршалл Д.Ф., Бансал В.К. Финансовая инженерия: Полное руководство по финансовым нововведениям. Москва, ИНФРА-М, 1998.
7.Чекулаев М. Загадки и тайны опционной торговли. ИК Аналитика, 2001.
8.Bookstaber R. Option Pricing and Strategies in Investing, 1981.
9.Clewlow L., Strickland C. Implementing Derivatives Models. Chichester, John Wiley and Sons, 1998.
10.Cox J.C., Rubinstein M. Options Markets. NJ, Pentice-Hall, 1985.
11.Gemill G. Option Pricing: an International Perspective. McGraw-Hill, 1993.
12.Hull J. Options, Futures and Other derivatives. NJ, Prentice-Hall, 2000.
13.Jorion P. Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk. Irwin, 2000.
14.Kolb R. Futures, Options, and Swaps. NY, Blackwell, 1999.
15.McMillan L. McMillan on Options, NY, John Wiley & Sons, 1996.
16.Natenberg S. Option Volatility and Pricing Strategies: Advanced Trading Techniques for Professionals. Chicago, Probus, 1994.
17.Nelken I., ed. The Handbook of Exotic Options. NY, McGraw-Hill, 1996.
18.An Overview of SPAN: The Standard Portfolio Analysis of Risk system for calculating Performance Bond Requirements. The Chicago Mercantile Exchange. Интернет-сайт СМЕ www.cme.com.
102 |
А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» |
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ..............................................................................................
ГЛАВА 1. Форвардные и фьючерсные контракты ...................................
1.1.Производные инструменты................................................
1.2.Фьючерсный контракт........................................................
1.3.Способы расчета по форвардным и фьючерсным контрактам...........................................................................
1.4.Вариационная маржа..........................................................
1.5.Расчетные контракты..........................................................
ГЛАВА 2. Опционы - основные определения...........................................
2.1.Опционы колл и пут ...........................................................
2.2.Премия по опциону.............................................................
2.3.Европейские и американские опционы.............................
2.4.Классы и серии опционов ..................................................
2.5.Графики прибылей/убытков по опционам на дату экспирации............................................................................
2.6.Опцион на фьючерсный контракт.....................................
2.7.Способы расчета по опционам ..........................................
2.8.Классификация опционов ..................................................
ГЛАВА 3. Модель рыночных условий.......................................................
3.1.Непрерывно начисляемая процентная ставка..................
3.2.Модель движения цены базисного актива........................
3.3.Типы волатильности...........................................................
3.4.Методы оценки волатильности EWMA, GARCH............
ГЛАВА 4. Стоимость форвардных и фьючерсных контрактов...............
4.1.Форвардные контракты......................................................
4.2.Фьючерсные контракты .....................................................
4.3.Сопоставление европейских опционов с уплатой и без уплаты премии
4.4.Примеры..............................................................................
ГЛАВА 5. Методы оценки стоимости опционов ......................................
5.1.«Вероятностный» подход
5.2.Биномиальный метод.............................................................................................................
ГЛАВА 6. Формула Блэка-Шоулса и ее модификации............................
6.1.Европейский опцион колл на бездивидендную акцию
6.2.Исходные предположения .................................................
6.3.Модификации формулы Блэка-Шоулса............................
6.4.Европейский опцион пут.......................................................
ГЛАВА 7. Графики стоимости европейских опционов............................
7.1.Европейские опционы на фьючерс без уплаты премии
7.2.Европейские опционы на фьючерс с уплатой премии ....
7.3.Европейские опционы на бездивидендную акцию............
103 |
А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» |
7.4.Европейскиe опционы на дивидендную акцию
7.5.Европейские опционы на валюту.....................................................
ГЛАВА 8. Американские опционы ............................................................
8.1.Биномиальный метод..........................................................
8.2.Квадратичная аппроксимация ...........................................
8.3.Американский опцион на дивидендную акцию...............
ГЛАВА 9. Стоимость портфеля. Коэффициенты чувствительности ......
9.1.Определение коэффициентов............................................
9.2.Пример динамического хеджа I.........................................
9.3.Воспроизведение опционов...............................................
9.4.Дельта-гамма-нейтральные позиции.................................
9.5.Предостережение................................................................
ГЛАВА 10. Опционная волатильность ........................................................
10.1.Определение......................................................................
10.2.Кривая волатильности......................................................
10.3.Опционные индикаторы...................................................
10.4.Пример динамического хеджа II .....................................
ГЛАВА 11. Основные спрэды и комбинации опционов ............................
ГЛАВА 12. Хеджирование............................................................................
12.1.Хедж с исполнением срочного контракта......................
12.2.Базис...................................................................................
12.3.EFP – сделки
12.4.Срочные контракты на фондовые индексы....................
ГЛАВА 13. Гарантийное обеспечение.........................................................
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Сводка формул.............................................................
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Квадратичная аппроксимация.....................................
ЛИТЕРАТУРА
104 |
А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» |