Тема 2. Графическое решение

задач линейного программирования

Пример. Имеется два продукта питания А и В, каждый из которых содержит белки, жиры и углеводы. Количественный состав этих продуктов (в некоторых единицах) и их цена задается таблицей:

Продукт Состав	А	В
Белки	3	3
Жиры	2	1
Углеводы	3	8
Цена	4 руб.	6 руб.

Минимальная потребность в питательных веществах – белках, жирах и углеводах – соответственно 45, 10, 60 единиц, при этом можно потребовать продукта А не более 25 единиц, а продукта В – не более 30 единиц. Требуется рассчитать необходимое количество обоих продуктов так, чтобы удовлетворить потребности организма в указанных веществах при минимальных денежных затратах.

РЕШЕНИЕ. Составим математическую модель. Предположим, что – количество продукта А,– количество продукта В. Тогда целевая функция задачи имеет вид:

,

ограничения:

.

Полученную задачу линейного программирования решим графически. Построим сначала допустимое множество нашей задачи, то есть область решений системы неравенств. Шестиугольник CDEFGH – допустимое множество.

x₂

D E

C

H

0 G x₁ F

Определим направление возрастания значений целевой функции . Для этого строим вектор (4;6).

Затем проводим линию уровня целевой функции, пересекающую допустимое множество. Теперь переместим линию уровня параллельно самой себе в направлении вектора (4;6) до тех пор, пока она не станет опорной к допустимому множеству.

Пересечение допустимого множества с опорной прямой есть точка H. Точка H есть точка пересечения двух прямых

Таким образом, для удовлетворения потребностей в питательных веществах необходимо 12 единиц продукта A и 3 единицы продукта B при минимальных денежных затратах 66 руб.

Задача №1. В одном опытном хозяйстве нашли, что откорм животных выгоден лишь тогда, когда каждое животное получит в дневном рационе не менее 6 единиц питательного вещества А, не менее 12 единиц питательного вещества В и не менее 4 единиц питательного вещества С, при этом используются два вида корма. Содержание питательных веществ в 1 кг каждого вида приведено в таблице:

Вид питательного вещества	Вид корма
	I	II
А	2	1
В	2	4
С	0	4

Цена корма I равна 0,5 денежных единиц за 1 кг, цена корма II – 0,6 денежных единиц за 1 кг. Какое количество корма необходимо расходовать ежедневно, чтобы затраты на него были минимальными при соблюдении указанных выше условий.

Задача №2. Одной из ученических бригад выделили два участка земли в 8 га и 9 га под посевы пшеницы и кукурузы. Средняя урожайность по участкам и культурам отражена в таблице (в ц на га):

участки культура	I	II
Пшеница	16	14
Кукуруза	35	30

За 1 ц пшеницы получают 2,5 руб., за 1 ц кукурузы – 1,4 руб.

Сколько гектаров и на каких участках необходимо отвести под каждую культуру, чтобы получить от реализации наибольшую сумму, если по плану надо собрать не менее 150 ц пшеницы и не менее 220 ц кукурузы?

Задача №3. Трикотажная фабрика использует для производства свитеров и пуловеров следующие материалы: чистая шерсть, силон, нитрон. Запасы материалов ограничены и составляют соответственно: 900, 400 и 300 кг. Количество пряжи каждого вида (в кг), необходимой для изготовления 10 штук изделий, а также прибыль, получаемая от реа­лизации, приведены в таблице.

Виды сырья	Запас сырья в кг	Затраты на 10 шт. (в кг)
		свитера	Пуловеры
Шерсть	900	4	2
Силон	400	2	1
Нитрон	300	1	1
Прибыль		6	5

Требуется установить такой план выпуска изделий каждого вида, который бы обеспечил фабрике наибольшую прибыль от реализации всей продукции.