Задача оптимизации плана производства

Пример. Для производства трех видов продукции предприятие использует два типа технологического оборудования и два вида сырья. Нормы затрат сырья и времени на изготовление одного изделия каждого вида приведены в таблице. В ней же указаны общий фонд рабочего времени каждой из групп технологического оборудования, объемы имеющегося сырья каждого вида, а также цена одного изделия данного вида и ограничения на возможный выпуск каждого из изделий.

Ресурсы	Нормы затрат на одно изделие вида			Общее количество ресурсов
	1	2	3
Производительность оборудования (нормо-ч) 1 типа 2 типа	2 4	– 3	4 1	200 500
Сырье (кг) 1 вида 2 вида	10 30	15 20	20 25	1495 4500
Цена одного изделия (руб.)	10	15	20	–
Выпуск (шт) минимальный максимальный	10 20	20 40	25 100	–

Составить такой план производства продукции, согласно которому будет изготовлено необходимое количество изделий каждого вида, а общая стоимость всей изготовляемой продукции максимальна.

РЕШЕНИЕ. Составим математическую модель. Предположим, что предприятие изготовит х₁ изделий 1-го вида, х₂ изделий 2-го вида и х₃ изделий 3-го вида.

Задача состоит в определении максимальной общей стоимости всей изготовляемой продукции.

,

при ограничениях на имеющийся фонд рабочего времени каждого типа оборудования:

,

,

на возможное использование сырья:

,

,

на возможный выпуск изделий каждого вида:

, ,.

Результаты решения задачи с помощью пакета прикладных программ POM WIN содержатся в таблицах 1-3 (стр.19‑20).

Из таблиц 1 и 3 следует, что оптимальный план выпуска продукции включает в себя 10 изделий 1-го вида, 33 изделия 2-го вида и 45 изделий 3-го вида. Максимальная общая стоимость продукции составляет 1495 рублей. При этом рабочее время станков 1 типа использовано полностью (slack 1 = 0), 316 часов работы станков 2 типа остались неиспользованными (slack 2 = 316). Сырье 1-го вида использовано полностью (slack 3 = 0), остаток сырья 2-го вида составляет 2415 кг (slack 4 = 2415).

Оптимальное решение останется тем же самым, если цены изделий будут изменяться в пределах, указанных в таблице 2. В частности, цены изделий первого и второго вида могут быть как угодно снижены, а цена изделия третьего вида как угодно повышена.

Так как базисными переменными (таблица 3) являются ,,,slack 2 (остаток рабочего времени станков 2 типа), slack 4 (остаток сырья 2-го вида), slack 6, slack 8, slack 10 (разность между верхней границей выпуска продукции 1-го, 2-го и 3-го видов соответственно и оптимальным значением выпуска), и surplus7, surplus 9 (превышение плана выпуска продукции по сравнению с нижней границей), то оптимальное решение задачи определяется из следующей системы уравнений.

,

,

,

,

, (1)

,

,

,

,

.

При изменении общего количества ресурсов сырья и ресурсов станков, а также границ выпуска продукции в пределах, указанных в таблице 2, решение задачи будет изменяться, при этом оптимальное решение будет определяться системой (1) с измененными правыми частями.

Анализ двойственных оценок (таблица 1 или таблица 2) показывает, что если запасы ресурсов сырья 1-го вида увеличить на единицу (уменьшить на единицу), то оптимальное значение целевой функции увеличится на единицу (уменьшится на единицу). Изменения фонда рабочего времени станков, запасов сырья 2-го вида, границ выпуска изделий в указанных в таблице 2 пределах, не влияют на оптимум задачи, то есть на максимальное значение прибыли.