7 Вопрос

Прогнозирования экономических процессов на основе трендовых моделей базируется на идеи экстраполяции, то есть возможность продления в будущее тенденции наблюдавшейся в прошлом.

При этом при проведении расчетов оперирует не точечной оценкой (в виде конкретного значения прогнозируемого показателя, получаемого путем подстановки величины времени в трендовую модель). Оперируют не точечной, а интервальной оценкой, определяя доверительные интервалы прогноза (границы значений, в которых с определенной вероятностью можно ожидать появления фактического значения рассматриваемого показателя).

Для прямолинейного тренда доверительные интервалы определяются по следующей формуле:

y_{прогнозное} = y_n+L±t_α·S_y √1+⅟n + 3(n+2L-1)²/n(n-1)

y_n+L – точечный прогнозируемого показателя на период упреждения

L- период упреждения (прогноза)

t_α – табличное значение t критерия Стьюдента для уровня значимости α и для числа степеней свободы , равного n – 2

S_y – стандартная ошибка оценки прогнозируемого показателя

S_y = √2(y-y)²/ n-k

n – длина временного ряда

k – число параметров в уравнение тренда

Прогнозирование на основе трендовых моделей один из самых простейших методов прогнозирования, поэтому он применяется в качестве начального этапа комплексной метрики прогнозирования.

Приз учении рядов динамики важное значение имеет выявление сезонных колебаний, которым свойственны достаточно устойчивое изменение уровней ряда по внутригодовым периодам (месяцам и кварталам), наиболее ярко это связь видна там, где исследуемые процессы прямо зависят от естественных особенностей времени года.

Сезонность - это ограниченность годового периода работ под влиянием природного фактора.

Основные моменты, в которых проявляется влияние сезонности на экономику:

1. В аритмии производственных и других процессов;

2. В недозагрузке оборудования в одни периоды и более интенсивном использовании в другие;

3. В неравномерности товарооборота и т.д.

Сезонные колебания - это периодические колебания, возникающие под влиянием смены времени года, они строго цикличны, то есть повторяется через каждый год.

Основные задачи изучения сезонных временных рядов:

1. Определение наличия во временном ряду тренда и степени его гладкости;

2. Выявление наличия во временном ряду сезонных колебаний;

3. Фильтрация компонент ряда;

4. Анализ динамики сезонной волны;

5. Исследование факторов, определяющих сезонные колебания.

6. Прогнозирование трендов сезонных процессов;

7. Если экономические процессы подвергаются колебаниям с постоянным периодом равным одному году, то временной ряд, описывающих этот процесс называют тренд сезонным временным рядом. Представляют его в виде аддитивной модели. Формула.

y_t= U_t+V_t+ ξ_t

U_t -тренд

V_t – сезонные компоненты

ξ_t – случайные компоненты

Сезонная компонента имеет период колебания равный T₀. Если рассматривается ряд состояний из месячной данных, то Т₀=12, Т₀=4 для нулевого ряда квартальных данных.

Длина временного ряда [ Т ] = Т₀×m(количество лет представленных в ряду динамике)

Ч

mxT

асто исходные данные представляются в виде матрицы элементов уij между индексами t, i, j существует связь

j = t – (i – 1) Т₀

i = t/Т₀+1

Для исследования собственно сезонных колебаний необходимо отфильтровать из временного ряда y_t сезонную компоненту V_t и затем проанализировать ее динамику.

Наиболее распространенными методами анализа сезонной волны являются итерационные методы, заключающиеся в многократном применении скользящей средней с одновременной оценкой сезонной компонентой в каждом цикле. Преимущество данных методов состоит в простоте и удовлетворительной частоте фильтрации.

А так как примирение скользящих средних приводит к потере части информации на концах временного ряда.

В качестве примера итерационного метода рассмотрит метод Четверикова.

Этапы:

1. Исходный эмпирический ряд выравнивается скользящей средней с периодом скольжения Т нулевое, то есть берется Т нулевое +1 уровней временного ряда, первый и последний из которых с половинным весом.

y₁ =½ y₁+ y₂+...+½ y_T0 + 1 / Т₀

В результате этого получается предварительная оценка тренда y_t´= U_t´

На его основе рассчитываются отклонения эмпирического ряда от выровненного.

L = y_t - y_t´

Через двойную индексацию это можно записать следующим образом:

L_ij = y_ij - y_ij´

2. Для каждого года I рассчитывается среднее квадрат чешское отклонение .

δ_i= √∑ L_ij² - (∑ L_ij)²/ Т₀ / Т₀

Затем на δ_i делятся элементы L_ij , в результате чего получается нормированное отклонение.

L_ij = L_ij/ δ_i

3. Расчет предварительной средней сезонной волны.

V_j´ = ∑ L_ij/m

m- количество лет.

4. Вычисление ряда лишенного предварительной сезонной волны.

U_ij= y_ij - V_j´·δ_i

5. Полученный ряд сглаживается скользящей средней, после чего получается новая оценка тренда U_´ij''.

6. Расчет отклонений эмпирического ряда

L_ij´´= y_ij - U_´ij''

Эти отклонения вновь подвергаются обработке по этапам 2 и 3. Для выявления окончательной средней сезонной волны.

7. Окончательное исключение средней сезонной волны путем ее умножение на коэффициент напряженности.

K_i = ∑ L_ij´´ ξ_ij / ξ_ij²

ξ_ij = L_ij´´- V_j''

ξ_ij – случайная компонента

Данный метод был предложен четвериковым в 1928 году и в отличия от ранее известных способов изучения тренда он позволяет исключить влияние сезонных волн переменных структуры.

Для измерения сезонных колебаний применяются различные механические методы:

1. Метод абсолютных разностей (предполагает нахождение абсолютных отклонений, фактических уровней от уровней найденных при выявлении основной тенденции развития). Довольно часто при анализе используется разность между фактическим уровнем и средним месячным уровнем за год.

2. Метод относительных отклонений, который определяется отношением абсолютных разностей к выровненным уровням или к среднему месячному уровню за год. После расчета абсолютных и относительных отклонений их изображают на графике. Для выявления сезонных колебаний как правило берут данные за несколько лет, обычно не менее 3-х.

Аналитические методы.

В качестве примера аналитического метода изучения сезонной волны рассмотрим метод аналитического выравнивания по функции Фурье.

При его использовании определяются параметры следующего уравнения:

ŷ_t= a₀+∑(a_kcoskt+b_ksinkt)

К данной модели прибегают в том случае, если в эмпирическом ряду наблюдается определенная периодичность изменения уровней. Показатель k определяет гармонику ряда, то есть периодичность изменения уровней в течение года. Обычно при выравнивании рассчитывают несколько гармоник. В экономическом исследовании чаще 4. Затем уже определяют какая из них наилучшим образом отражает периодичность изменения уровня ряда.

Параметры уравнения находят по способу наименьших квадратов.

a₀= ∑y/n

a_k=2∑ycoskt/n

b_k=2∑ysinkt/n

Последовательность значений времени t выражают в радианной мере или градусах и определяют от 0 с приростом 2П/n, n- число уровней эмпирического ряда.

Пример, если рассматривается ряд из месячных данных то моменты времени можно записать следующим образом = 0, П/6; П/3; П/2; 2П/3; 5П/6; П; 7П/6; 4П/3; 3П/2; 5П/3; 11П/6.

Выбор наилучшей гармонике осуществляется по наименьшей величине суммы квадратов отклонений теоретических значений от эмпирических.

Индексы сезонности.

В статистике в используют индексы сезонности, которые представляют собой отношение выровненных уровней к среднемесячному значению.

L_s= ŷ/y