Свойства криволинейных интегралов второго рода

Рассмотрим свойства интегралов вида (6.18), предполагая, что все встречающиеся ниже интегралы существуют. Интегралы вида (6.19) и (6.20) имеют аналогичные свойства.

1.

т.е. при изменении направления на кривой интеграл второго рода меняет знак.

2.

3.

Из свойств 2 и 3 следует свойство линейности криволинейного интеграла второго рода:

4. Свойство аддитивности.

Если кривая АВ разбита точкой С на две части АС и СВ, то

5. Если L - замкнутая кривая, то криволинейный интеграл не зависит от выбора начальной точки, а зависит только от направления движения вдоль кривой.

Связь между криволинейными интегралами первого и второго родов

Пусть АВ - пространственная кривая, на которой задано направление от точки А к точке В. Рассмотрим в каждой точке кривой касательный вектор, направление которого соответствует направлению кривой. Обозначим через углы, которые образует этот вектор с осямиOx,Oy,Oz. В этом случае справедлива формула

Замечание. Если изменить направление кривой, то интеграл, стоящий слева, интеграл второго рода, изменит знак. Интеграл справа, интеграл первого рода, также изменит знак, так как изменит знак подынтегральная функция: изменение направления кривой влечет изменение направления касательного вектора на противоположное и, соответственно, меняются знаки у .

Вычисление криволинейных интегралов второго рода

Вычисление криволинейных интегралов второго рода также сводится к вычислению определенных интегралов. Приведем без доказательства формулы перехода от криволинейных интегралов к определенным.

1. Пусть АВ - плоская кривая и задается уравнением , точка А имеет координаты , точкаВ - координаты . Тогда

Если плоская кривая АВ задается уравнением , а точки А и B имеют координаты и , то

2. Пусть АВ - плоская кривая, задаваемая параметрическими уравнениями: , причем точке А соответствует значение параметра , точкеВ - значение . Тогда

3. Если АВ - пространственная кривая, задаваемая параметрическими уравнениями: и точкам А и В соответствуют значения и , то

4. Если различные участки кривой АВ задаются различными формулами, то нужно воспользоваться свойством аддитивности интеграла, т.е. разбить кривую на соответствующее число частей, вычислить интегралы по этим частям и просуммировать.

Пример 6.6. Вычислить по параболеот точкиА(2;4) до точки В(1;1).

Решение. Воспользуемся формулой (6.22), учитывая, что

Пример 6.7. Вычислить , где АВ - дуга эллипса идущая от точкиА(2; 0) до точки В(-2; 0) в направлении против часовой стрелки.

Решение. Воспользуемся формулой (6.23): . Точке А соответствует значение параметра , точке. Тогда

Формула Грина

Интегралы по замкнутому контуру

Если L - замкнутая кривая (замкнутый контур), то, как говорилось в теме 6.2, значение криволинейного интеграла второго рода не зависит от выбора начальной точки. Криволинейный интеграл по замкнутой кривой иногда обозначают символом: При этом направление обхода контура L задается дополнительно. Если L - замкнутая плоская кривая, без точек самопересечения, то положительным направлением обхода контура L называется такое направление, при котором область, ограниченная контуром L, остается слева, т.е. движение происходит против часовой стрелки (рис. 6.18). Противоположное направление обхода называется отрицательным. В дальнейшем, если нет дополнительных указаний о направлении, будем считать направление обхода контура положительным.