Вопросы для самопроверки по теме 6.1

1. Какие задачи приводят к понятию двойного интеграла?

2. Дайте определение двойного интеграла.

3. Перечислите свойства двойного интеграла.

4. Напишите формулу перехода от двойного интеграла к повторному в декартовых координатах.

5. Что называется якобианом отображения?

6. Напишите формулу перехода от двойного интеграла к повторному в полярных координатах.

7. Какие геометрические и физические величины можно вычислить, используя двойные интегралы?

6.2. Криволинейные интегралы первого рода

При изучении данной темы Вам предстоит ознакомиться со следующими вопросами:

• Определение криволинейного интеграла первого рода и его механический смысл.

• Основные свойства криволинейного интеграла первого рода.

• Вычисление криволинейного интеграла первого рода.

После изучения данных вопросов в опорном конспекте Вам следует решить тест №11 и ответить на вопросы для самопроверки. Если Вы будете испытывать затруднения в ответах, обратитесь к [3] или к глоссарию.

Студенты очно-заочной и заочной форм обучения должны решить одну задачу под № 71-80 из контрольной работы № 6 в соответствии со своим вариантом.

Определение криволинейного интеграла первого рода и его основные свойства

Криволинейный интеграл первого рода является еще одним обобщением определенного интеграла. К понятию криволинейного интеграла первого рода приводит задача о вычислении массы материальной кривой. Дадим определение этого интеграла.

Пусть в пространстве (или на плоскости) дана непрерывная спрямляемая кривая АВ, в точках которой определена функция . Проделаем следующие операции:

1. Разобьем кривую АВ на п частей следующими друг за другом точками . При этом точку отождествляем с точкой , - с точкойВ. Длину дуги обозначим через . Наибольшую из величинобозначим через.

2. На каждой дуге выберем произвольно по точке и вычислим .

3. Найдем сумму

.

Эта сумма называется интегральной суммой для функции на кривой АВ.

4. Вычислим .

Если этот предел существует, конечен и не зависит от способа разбиения кривой АВ на части и от выбора точек , то он называетсякриволинейным интегралом первого рода от функции по кривой АВ. Этот интеграл обозначают символом

или

если кривая АВ лежит на плоскости Оху, или, если АВ - пространственная кривая:

При этом используют следующие названия: - подынтегральная функция,АВ - линия (кривая, контур) интегрирования, А и В - начальная и конечная точка интегрирования.

Таким образом, определение криволинейного интеграла первого рода можно записать так

Криволинейные интегралы первого рода называют также интегралами по длине дуги.

Механический смысл криволинейного интеграла первого рода

Если неотрицательная функция определяет плотность кривой АВ в точке М, то криволинейный интеграл первого рода равен массе кривойАВ, т.е.

(6.13)

Достаточные условия существования криволинейного интеграла первого рода

Приведем без доказательства следующую теорему.

Теорема 6.4. Если функция непрерывна на спрямляемой непрерывной кривой АВ, то криволинейный интеграл существует.