Основные свойства криволинейных интегралов первого рода

Перечислим основные свойства, предполагая, что все встречающиеся ниже функции и кривые удовлетворяют условиям теоремы 6.4. Эти свойства выводятся непосредственно из определения криволинейного интеграла аналогично тому, как доказываются свойства определенного интеграла.

1. , т.е. значение криволинейного интеграла не зависит от направления кривой.

2. .

3. .

Из свойств 2 и 3 следует свойство линейности криволинейного интеграла

.

4. Свойство аддитивности.

Если кривая АВ разбита точкой С на две части АС и СВ, то

.

5. Если для всех точекМ кривой АВ, то

.

6. Если для всех точек М кривой АВ, то

7.

8. , где- длина кривойАВ.

9. Теорема о среднем.

Если функция непрерывна на кривой АВ, то на этой кривой найдется хотя бы одна такая точка , что

Вычисление криволинейных интегралов первого рода

Вычисление криволинейных интегралов первого рода сводится к вычислению определенных интегралов. Приведем правила вычисления интегралов первого рода.

1. Пусть кривая АВ - плоская и задается уравнением ,, где - функция, непрерывно дифференцируемая на , a точкамА и В соответствуют значения и соответственно. Тогда

(6.14)

Выражение называется дифференциалом длины дуги кривой.

Если кривая АВ - плоская и задается уравнением ,, где - функция, непрерывно дифференцируемая на , а точкам А и В соответствуют значения и , то получим формулу, аналогичную формуле (6.14):

(6.15)

В этом случае дифференциал длины дуги кривой

2. Пусть кривая АВ - плоская и задается параметрическими уравнениями

где и - функции, непрерывно дифференцируемые на , a точкам А и В соответствуют значения параметра и .

(6.16)

Дифференциал длины дуги кривой в этом случае

3. Пусть АВ - пространственная кривая и задается параметрическими уравнениями

где - функции, непрерывно дифференцируемые на , а точкамА и В соответствуют значения параметра и . Тогда

Дифференциал длины дуги кривой

4. Если различные участки кривой АВ задаются различными формулами, то нужно воспользоваться свойством аддитивности интеграла, т.е. разбить кривую на соответствующее число частей, вычислить интегралы по этим частям и просуммировать.

Пример 6.4. Вычислить вдоль параболыот точкидо точки.

Решение. Воспользуемся формулой (6.14):

Пример 6.5. Вычислить вдоль первого витка винтовой линии:

Решение. Вычислим сначала dl :

Тогда, используя формулу (6.17), получаем

Решение задач

Задача 6.9. Найти дифференциал длины дуги кривой.

Решение. Учитывая, что , получаем

.

Задача 6.10. Найти дифференциал длины дуги кривой.

Решение. В случае, если кривая задается параметрически, то

Вычислим и.. Тогда

.

Задача 6.11. Вычислить , где- дуга параболыот точкидо точки.

Решение. Воспользуемся формулой (6.14), вычислив предварительно .

. Тогда .

Задача 6.12. Вычислить , где- дуга кривой.

Воспользуемся формулой (6.15), вычислив предварительно .. Тогда

Следовательно,

Задача 6.13. Найти массу дуги материальной кривоймежду точкамии, если плотность вещества.

Решение. В соответствие с формулой (6.13)