Санкт-Петербургский государственный горный институт

(технический университет)

Кафедра общей и технической физики

Лабораторная работа №3

Изучение магнитного поля

(закон Био – Савара – Лапласа)

Рис. 1. Экспериментальная установка для измерения магнитного поля.

Санкт-Петербург

2009

Цель работы: Измерение магнитных полей, создаваемых проводниками различных конфигураций. Экспериментальная проверка закона Био–Савара–Лапласа.

Теоретические основы лабораторной работы

1. Магнитное поле прямолинейного проводника с током.

Проводник, по которому протекает электрический ток, создает магнитное поле. Магнитное поле характеризуется вектором напряженностиH(рис.2), который можно вычислить по формуле

H=dH.

Cогласно закону Био-Савара-Лапласа,

,

где I– сила тока в проводнике,dl– вектор, имеющий длину элементарного отрезка проводника и направленный по направлению тока,r– радиус вектор, соединяющий элемент с рассматриваемой точкойP.

Рассмотрим магнитное поле, создаваемое прямолинейным проводником с током конечной длины (рис.3). Отдельные элементарные участки этого проводника создают поляdH, направленные в одну сторону (перпендикулярно плоскости чертежа), поэтому напряженность магнитного поля в точкеPможет быть найдена интегрированием:

Имеем l =r_oсtg, так чтоКроме того,Поэтому

После интегрирования получим

, (1)

где r_o– кратчайшее расстояние от точкиPдо проводника с током,₁и₂- углы между крайними элементами проводника и соответствующими радиус-векторамиPAиPB.

Если определять напряженность в точках, расположенных на перпендикуляре, восстановленном к середине проводника, то cos₂=cos(180-₁) = -cos₁и, следовательно,

(cos₁ - cos₂) = 2cos₁ = . (2)

С учетом выражения (2) формулу (1) можно записать в виде

. (3)

Учитывая, что в настоящей работе длина проводника 2bмного больше расстоянияr₀от проводника до точки наблюдения магнитного поля, формулу 3 можно записать в виде

(4)

Поэтому индукция магнитного поля рассчитывается по формуле:

, (5)

где ₀– магнитная постоянная,– магнитная проницаемость среды (для воздуха =1)

2. Магнитное поле на оси короткой катушки с током.

Проводник, по которому протекает электрический ток, создает магнитное поле которое характеризуется вектором напряженности H(рис.4). Напряженность магнитного поля подчиняется принципу суперпозиции

а, согласно закону Био-Савара-Лапласа,

, (6)

где I– сила тока в проводнике,dl– вектор, имеющий длину элементарного отрезка проводника и направленный по направлению тока,r – радиус вектор, соединяющий элемент с рассматриваемой точкойP.

Одной из часто встречающихся конфигурации проводников с током является виток в виде кольца радиуса R(рис.4,а). Магнитное поле такого тока в плоскости, проходящей через ось симметрии, имеет вид (см. рис.4,б). Поле в целом должно иметь вращательную симметрию относительно осиz(рис.4,б), а сами силовые линии должны быть симметричны относительно плоскости петли (плоскостиxy). Поле в непосредственной близости от проводника будет напоминать поле вблизи длинного прямого провода, так как здесь влияние удаленных частей петли относительно невелико. На оси кругового тока поле направлено вдоль осиZ.

Вычислим напряженность магнитного поля на оси кольца в точке расположенной на расстоянии zот плоскости кольца. По формуле (6) достаточно вычислитьz-компоненту вектораdH:

. (7)

Интегрируя по всему кольцу, получим dl= 2R. Поскольку, согласно теореме Пифагораr²=R² +z², то искомое поле в точке на оси по величине равно

. (8)

Направление вектора Hможет быть направлено по правилу правого винта.

В центре кольца z= 0 и формула (8) упрощается:

(9)

Нас интересует короткая катушка– цилиндрическая проволочная катушка, состоящая изNвитков одинакового радиуса. Из-за осевой симметрии и в соответствии с принципом суперпозиции магнитное поле такой катушки на осиHпредставляет собой алгебраическую сумму полей отдельных витковH_i:. Таким образом, магнитное поле короткой катушки, содержащейN_квитков, в произвольной точке оси рассчитывается по формулам

,, (10)

где H– напряженность,B– индукция магнитного поля.