2.3. Операции над предикатами
Предикат A(x1,x2,...,xn) можно рассматривать как логическую функцию, определенную на M1M2...Mn и принимающую значения на множестве {И,Л}. Простейшими логическими операциями над предикатами, так же как и для высказываний являются: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквивалентность.
Рассмотрим предикаты A(x1,x2,...,xn) и B(x1,x2,...,xn), определенные на M1M2...Mn.
Отрицанием предиката A(x1,x2,...,xn) называется новый n-местный предикат A(x1,x2,... xn), множество истинности которого является дополнением множества истинности предиката A(x1,x2,...,xn), т.е.
{( x1,x2,...,xn) A(x1,x2,...,xn)} =
M1 M2 ... Mn \ {( x1,x2,...,xn) A(x1,x2,...,xn }.
Конъюнкцией предикатов A(x1,x2,...,xn) и B(x1,x2,...,xn) называется новый n-местный предикат
C(x1,x2,...,xn) = A(x1,x2,...,xn) & B(x1,x2,...,xn),
множество истинности которого есть пересечение множеств истинности A(x1,x2,..., xn) и B(x1,x2,..., xn), т.е.
{( x1,x2,...,xn) C(x1,x2,...,xn)} =
{( x1,x2,...,xn) A(x1,x2,...,xn)} {( x1,x2,...,xn) B(x1,x2,...,xn)}.
Дизъюнкцией предикатов A(x1,x2,...,xn) и B(x1,x2,...,xn) называется n-местный предикат
D(x1,x2,...,xn) = A(x1,x2,...,xn) \/ B(x1,x2,...,xn),
множество истинности которого есть объединение множеств истинности A(x1,x2,...,xn) и B(x1,x2,...,xn), т.е.
{( x1,x2,...,xn) D(x1,x2,...,xn)}=
{( x1,x2,..., xn) A(x1,x2,..., xn)} {( x1,x2,..., xn) B(x1,x2,..., xn)}.
Импликацией предикатов A(x1,x2,...,xn) и B(x1,x2,...,xn) называется предикат
I(x1,x2,...,xn) = A(x1,x2,...,xn) B(x1,x2,...,xn),
который имеет значение ЛОЖЬ на тех и только на тех наборах аргументов x1,x2,...,xn, на которых A(x1,x2,...,xn) имеет значение ИСТИНА, а B(x1,x2,...,xn) - значение ЛОЖЬ.
Пусть
M(A),
M(B)
и M(I)
множества истинности A(x1,x2,...,xn),
B(x1,x2,...,xn)
и I(x1,x2,...,xn),
тогда M(I)
=
M(B),
где
- дополнение множестваM(A).
Эквивалентностью предикатов A(x1,x2,...,xn) и B(x1,x2,...,xn) называется предикат
E(x1,x2,...,xn) = A(x1,x2,...,xn) B(x1,x2,...,xn),
который имеет значение истина на тех и только на тех наборах аргументов x1,x2,...,xn, на которых значения истинности A(x1,x2,...,xn) и B(x1,x2,...,xn) совпадают. Множество истинности M(E) для эквивалентности предикатов A(x1,x2,...,xn) B(x1,x2,...,xn) есть
M(E)
= [
]
[M(A)
M(B)].
Пример 2.9. Даны универсальное множество M = {a,b,c,d,e,f} и два подмножества L = {b,c,d} и K = {d,e,f}, и два предиката A(x) и B(x), причем {xA(x)=И}=L и {xB(x)=И}=K, т.е. L и K являются множествами истинности предикатов A(x) и B(x) соответственно. Требуется найти множество истинности эквивалентности E(x)=A(x)B(x).
Для решение этой задачи используем определение эквивалентности предикатов:
{xE(x)=И} = (L K) (L K) =
({a,e,f} {d,e,f}) ({b,c,d} {a,b,c}) =
{e,f} {b,c} = {e,f,b,c}.
2.4. Логические операции квантификации
Пусть A(x) – одноместный предикат, определенный на множестве M. Универсальным высказыванием, соответствующим A(x), называется высказывание "каждый элемент множества M удовлетворяет предикату A(x)", которое будем обозначать x A(x).
Высказывание x A(x) считается истинным, если предикат A(x) тождественно истинный, и ложным - в противном случае.
Символ x называется квантором всеобщности по переменной x, его читают: "для всех x" или "для каждого x" или "для любого x".
Выражение x A(x) читается: "для всех x, A (x)" или "для каждого x, A(x)".
Например, x(x=x) – это истинное универсальное высказывание, а x(x > 2) – ложное универсальное высказывание.
Если A(x) – одноместный предикат, определенный на конечном множестве {a1,a2,...,am}, то x A(x) [A(a1) & A(a2) & ... & A(am)]. Таким образом, квантор всеобщности можно понимать как оператор конъюнкции по квантифицируемой переменной.
Экзистенциональным высказыванием, соответствующим предикату A(x), называется высказывание "существует элемент множества M, удовлетворяющий предикату A(x)", которое обозначается x A(x), и считается истинным, если предикат A(x) выполнимый, и ложным - в противном случае.
Символ называют квантором существования, а выражение x, в котором этот квантор предшествует переменной x, читают: "существует x такой, что ..." или "для некоторого x, ...". Например, выражение x A(x) читается: "существует x такой, что A(x) " или "для некоторого x, A(x)".
Например, x(x>2) – истинное экзистенциональное высказывание, а x(x=x+1) – ложное экзистенциональное высказывание.
Если A(x) - одноместный предикат, определенный на конечном множестве {a1,a2,...,am}, то x A(x) [A(a1) \/ A(a2) \/ ... \/ A(am)]. Таким образом, квантор существования можно понимать как оператор дизъюнкции по квантифицируемой переменной.
Применение кванторов к n-местным предикатам. К n-местному предикату можно применить n кванторов. Применение квантора к n-местному предикату (n1) дает (n-1)- местный предикат.
Пример 2.10. x1 A(x1,x2,...,xn) - (n-1)-местный предикат, у которого x1 - связанная переменная, а x2,x3, ..., xn - свободные переменные. Если все переменные n-местного предиката связаны, получаем 0-местный предикат, или высказывание, например:
(x1,x2,...,xn) A(x1,x2,...,xn);
(x1,x2) (x3) B(x1,x2,x3).