5.4. Труднорешаемые задачи

NP-полная задача П называется универсальной, если к ней полиномиально сводится любая NP-полная задача. Выше была доказана принадлежность задачи выполнимости к.н.ф. к классу NP-полных задач.

Приведем другие примеры задач этого класса: о полном подграфе, о вершинном покрытии, о сложности д.н.ф. частичной булевой функции и о трехмерном сочетании.

Задача о полном подграфе. Граф называется полным, если любые две его вершины соединены ребром. По заданному неориентированному графу G и числу k требуется определить, имеется ли в G полный подграф с k вершинами.

Задача о вершинном покрытии. Некоторое подмножество V, содержащее k=V вершин, образует вершинное покрытие мощности k графа G, если для любого ребра найдется инцидентная ему вершина в подмножестве V.

По заданному графу G и числу k требуется определить, имеет ли G вершинное покрытие мощности k.

Задача о сложности д.н.ф. частичной булевой функции. По частичной булевой функции f и числу k необходимо установить, возможно ли построить д.н.ф. для f, содержащую не более k букв.

Трехмерное сочетание. Дано множество MWXY, где W,X,Y – непересекающиеся множества, содержащие одинаковое число элементов q. Необходимо установить, что M содержит трехмерное сочетание, т.е. подмножество MM такое, чтоM=q и никакие два разных элемента M не имеют ни одной равной координаты.

Например, W={a,b,c}, X={d,e,f}, Y={j,h,i} и M = {(a,d,i), (a,e,i), (a,f,j), (b,e,i), (b,f,j), (c,e,h), (c,d,i)}. Данный пример имеет положительное решение: M ={(a,d,i), (b,f,j), (c,e,h)}M.

Пусть П₁ – задача о выполнимости к.н.ф. Тогда, чтобы доказать, что задача П_q является NP-полной, достаточно доказать, что

П₁ П₂ …П_q.

Например, в [15] показано, что задача выполнимости к.н.ф сводится к задаче о полном подграфе, которая в свою очередь сводится к задаче о вершинном покрытии, а последняя - к задаче о сложности д.н.ф. частичной булевой функции.

NP-трудные задачи

Задача  называется NP-трудной, если  - произвольная задача (т.е. не обязательно, что NP) распознавания свойств, к которой сводится некоторая NP-полная задача. К NP-трудным могут относиться не только задачи распознавания свойств, но и другие переборные задачи.

Точное решение NP-трудной (так же как и NP-полной) задачи в общем случае может быть получено только за экспоненциальное время. Следовательно, решать ее переборным алгоритмом неэффективно при большом количестве вариантов перебора. Одним из подходов к решению NP-трудных задач является сокращение перебора по схеме ветвей и границ. Эта схема перебора позволяет опознать бесперспективные частичные решения, в результате чего от дерева поиска на одном шаге отсекается целая ветвь. Однако в общем случае схема ветвей и границ не выводит рассматриваемые задачи из класса NP-трудных.

Приведем примеры NP-трудных задач: задача коммивояжера и задача построения сингулярной скобочной формы.

Задача коммивояжера. Эта задача, поставленная еще в 1934 г., является одной из самых важнейших задач в теории графов. В области оптимизации дискретных задач задача коммивояжера служит своеобразным полигоном, на котором испытываются все новые методы.

Постановка задачи. Коммивояжер (бродячий торговец) должен выйти из первого города, посетить по разу в неизвестном порядке города 2, 3, …, n и вернуться в первый город. Расстояния между всеми городами известны. В каком порядке следует обходить города, чтобы замкнутый путь коммивояжера был кратчайшим? В терминах теории графов: найти гамильтонов цикл в графе минимальной длины.

Задача построения сингулярной скобочной нормальной формы. Назовем скобочной нормальной формой (с.н.ф.) булевой функции f такое представление f в базисе {&, \/, }, при котором операция инверсии  применяется только к отдельным переменным.

Назовем сингулярной (или особенной) такую с.н.ф., в которой никакие две подформулы, входящие в одну конъюнкцию, не содержат одинаковых переменных [1, 2, 17, 18].

В [18] показано, что задача выполнимости к.н.ф. сводится к построению сингулярной с.н.ф. для исследуемой к.н.ф.

Литература

1. Анкудинов Г.И. Синтез структуры сложных объектов: логико-комбинаторный подход. – Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986.- 260с.

2. Анкудинов Г.И., Золотов О.А., Петухов О.А. Логическое программирование на языке Prolog: Учеб.пособие. – СПб.: СЗТУ, 2001. – 172с.

3. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. – М.: Мир, 1982. – 416с.

4. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. – М.: Мир, 1976. – 150с.

5. Ковальски Р. Логика в решении проблем: Пер. с англ.- М.: Наука, 1990.– 280с.

6. Лингер Р., Миллс Х., Уитт Б. Теория и практика структурного программирования: Пер. с англ. – М.: Мир, 1982. 406с.

7. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. – М.: Наука, 1984. – 320с.

8. Минский М. Вычисления и автоматы.  М.: Мир, 1971. – 368с.

9. Нильсон Н. Искусственный интеллект: Пер. с англ.  М.: Мир, 1973.– 270с.

10. Новиков П.С. Элементы математической логики. – М.: Физматгиз, 1959. – 400с.

11. Основы кибернетики. Математические основы кибернетики: Учеб.пособие. Под ред. К.А.Пупкова. - М.: Высш.шк., 1974. – 413с.

12. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. – Киев: Технiка, 1977. – 768с.

13. Формальная логика: Учеб.пособие / Под ред. И.Я.Чупахина, И.Н.Бродского. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977. – 360с.

14. Шоломов Л.А. Основы теории дискретных логических и вычислительных устройств: Учеб.пособие. – М.: Наука, 1980. – 400с.

15. Turing, A.M. On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem // Proc. London Math. Soc., ser.2, 42, 1936. – P.230–265.

16. Ankoudinov, G.I. On one general approach to structural synthesis of algorithms, devices and systems // Kibernetika.- Kiev, No.1, 1982.– P.65-68 (English translation by The Plenum Publishing Corporation, USA).

17. Ankoudinov, G.I. Symbolic-numerical methods in discrete programming problems with logical constraints // Kibernetika.- Kiev, No.3, 1989. (English translation by The Plenum Publishig Corporation, USA).– P.51–55.

18. Ankoudinov, G. Advanced morphological approach to systems structural modelling // the Fourth St.Petersburg Workshop on Simulation, St.Petersburg State University, June 18-23, 2001.– P.145–150.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

А

аксиома 15

алфавит

ленточный 62, 86

состояний 62, 86

арифметизация 75

атом

Б

буква предикатная 24

В

высказывание 3

составное 3, 5

универсальное 23

экзистенциональное 23

вычисления

символьные 29