Новая папка (2) / 16 Задача1 вар7, Задача2,3 шифр16

Задача 1. Вариант 7. Шифр 16

При однократном измерении диаметра детали получено единственное значение отсчета d (табл. 2).

Таблица 2

В каких пределах находится действительное значение диаметра детали, если априорная информация представлена так:

а) отсчет подчиняется нормальному закону распределения вероятности со средним квадратическим отклонением σ (табл. 2); точное значение аддитивной поправки θ;

б) отсчет подчиняется равномерному закону распределения вероятности с размахом ε′ = dmax – d (табл. 2); точное значение аддитивной поправки равно θ;

в) отсчет подчиняется неизвестному закону распределения вероятности со средним квадратическим отклонением σ; точное значение аддитивной поправки θ.

Решение

В результате измерительной процедуры снимается показание d = 923 мм,

в которое нужно внести поправку θ.

После внесения аддитивной поправки получаем результат измерения d d 925 + (+35) = 960 мм.

Результат измерения в отличие от значения измеряемой величины является случайным.

1

Неслучайное значение измеряемой величины отождествляется со средним значением результата измерения d , область определения которого устанавливается исходя из априорной информации.

Выполним оценку погрешности однократного измерения ([1], с. 78) при доверительной вероятности P = 0,95.

1. Среднее значение результата измерения d = 960 мм.

Априорная информация. Отсчет подчиняется нормальному закону распределения вероятности со средним квадратическим отклонением

σ = 7 мм.

Рис. 1.1 Вероятность попадания отдельного значения результата измерения в окрестность среднего значения

Задавшись доверительной вероятностью Р = 0,95, по верхней кривой на рис. 1.1 ([2], рис. 52; [5], рис. 1) определим параметр

t = 2,0,

2

показывающий, на сколько σ полученное экспериментально значение результата однократного измерения d может отличаться от среднего значенияd , отождествляемого со значением измеряемой величины.

С той же вероятностью значение измеряемой величины находится в интервале

d t ; d t .

Измерительную информацию рекомендуется ([2], с. 121) записывать в форме

d d t ... d t с вероятностью P, так как среди значений d в интервале

d t ; d t

нет предпочтительных. Находим интервал

d t ; d t = [960 – 2,0·7; 960 + 2,0·7] = [946 мм; 974 мм].

Действительное значение диаметра детали для нормального закона распределения находится в пределах

d = 946 мм … 974 мм, с вероятностью P = 0,95

2. Среднее значение результата измерения d = 960 мм.

Априорная информация. Отсчет подчиняется равномерному закону распределения вероятности с размахом

ε′ = dmax – d = 24 мм.

Для равномерного «закона распределения вероятности» значение измеряемой величины с вероятностью P находится в интервале

d k 3 ; d k 3 ,

где коэффициент охвата k связан с доверительной вероятностью P

3

Действительное значение диаметра детали для равномерного закона распределения находится в пределах

d = 937 мм … 983 мм, с вероятностью P = 0,95

3. Среднее значение результата измерения d = 960 мм.

Априорная информация. Отсчет подчиняется неизвестному закону распределения вероятности со средним квадратическим отклонением

σ= 7 мм.

Вданном случае закон распределения вероятности результата измерения неизвестен, известным будет лишь его среднее квадратическое отклонение σ. Вероятность того, что отдельное значение результата измерения d, при любом законе распределения вероятности не будет

отличаться от среднего значения d больше чем на половину доверительного интервала d t ; d t , устанавливается неравенством П.Л. Чебышева

P d t d d t 1 94 t12 .

Неравенство П.Л. Чебышева определяет нижнюю границу вероятности того, что ни при каком законе распределения вероятности случайное значение результата измерения не окажется за пределами доверительного

4

интервала. Эта граница соответствует нижней кривой на рис. 1.1. Для доверительной вероятности Р = 0,95 по нижней кривой на рис. 1.1 находим параметр t = 3,0, показывающий самое большое количество σ, на которое экспериментально полученное значение результата однократного измерения d может отличаться от среднего значения.

С той же вероятностью неслучайное значение измеряемой величины d, отождествляемое с d , находится в интервале

d t ; d t .

Находим интервал

d t ; d t = [960 – 3,0·7; 960 + 3,0·7] = [939 мм; 981 мм].

Действительное значение диаметра детали для неизвестного закона распределения вероятности находится в пределах

d = 939 мм … 981 мм, с вероятностью P = 0,95

5

Задача 2

При многократном измерении одной и той же величины постоянного размера с равноточными значениями отсчета получены 50 независимых значений результата измерения (поправки внесены). Определить результат измерения.

Указания. Экспериментальные данные формируются из пяти серий (табл. 3) по десять значений результата измерения в каждой (с первого по десятое).

Выбирать четыре серии по предпоследней цифре шифра (одна серия приведена в строке с соответствующим номером, три другие – в трех следующих строках), а пятую – по последней цифре шифра (столбец с соответствующим номером).

Порядок расчета

В табл. 2.1 приведены 50 независимых значений результата измерения при многократном измерении одной и той же величины постоянного размера с равноточными значениями отсчета (поправки внесены).

6

1. Для получения представления о характере закона распределения вероятности результата измерения строим гистограмму, являющуюся эмпирической плотностью вероятности результата измерения.

Диапазон от Qmin = 132 до Qmax = 139 разбиваем на n = 7 интервалов. Ширина интервала Q = 1. Находим частоты mi – количество измерений, попавших в i-й интервал.

Результаты вычислений сведем в табл. 2.2 Таблица 2.2

По результатам вычислений табл. 2.2 строим гистограмму (рис. 2.2), являющуюся эмпирической плотностью вероятности результата измерения.

3

mi

n Q

2.5

2

1.5

1

0.5

Рис. 2.2 Эмпирическая плотность вероятности результата измерения

8

По гистограмме (рис. 2.2) предполагаем нормальность закона распределения вероятности результата измерения.

2. Среднее арифметическое результата измерения

распределения вероятности, то все случайные значения Qi с вероятностью

следствие ошибки. Такое значение должно быть исключено из массива экспериментальных данных. Это правило называется правилом «трех сигм».

На практике вместо числовых характеристик закона распределения вероятности результата измерения используют их точечные оценки. Если

то есть для вех измерений выполняется правило «трех сигм».

5. Проверку нормальности закона распределения вероятности результата измерения произведем по критерию К. Пирсона ([2], п. 6.2.2).

Определим на сколько SQ и в каком направлении отстоит от среднего арифметического левая граница Qi каждого интервала (табл. 2.2)

9

ti QiSQ Q .

По значению ti и таблице функции Лапласа L(ti) определим, с какой вероятностью отдельное значение результата измерения, подчиняющегося нормальному закону распределения вероятности, попадает в интервал

Теоретическая вероятность Pi попадания в i-й интервал отдельного значения результата измерения, подчиняющегося нормальному закону,

Pi = L(ti) – L(ti-1).

Примем во внимание, что L(–∞) = –0.5, а L(∞) = 0.5. Результаты вычислений поместим в табл. 2.3.

02 12,6 , принимаем гипотезу, о том, что результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности.

10