3. Вычисления без точного учета погрешностей

При массовых вычислениях часто не учитывают погрешность каждого отдельного результата и судят о погрешности приближенного значения величины (числа), указывая количество верных значащих цифр в этом числе. Если число А имеет n верных значащих цифр, то его относительная погрешность определяется следующим неравенством:

где: z – первая значащая цифра числа А. У числа А с относительной погрешностью δА верны n значащих цифр, где: n – наибольшее число, удовлетворяющее следующему неравенству:

Производя различные математические действия с приближенными числами, пользуются следующими правилами подсчета значащих цифр. При соблюдении этих правил можно считать, что в среднем полученные результаты будут иметь все знаки верными, хотя иногда возможна ошибка в несколько единиц последнего знака.

Правила представления чисел.

4. Правила составления таблиц и построения графиков

Результаты измерений и расчетов целесообразно представлять в виде таблиц и графиков.

З А Д А Н И Е 2

Требования к физическому опыту

(последняя цифра шифра: 6 – 9)

Математическая строгость теории не определяет ее абсолютную точность. Только опыт позволяет проверить правильность теоретических обобщений.

В процессе выполнения работы необходимо рассмотреть:

- ошибки измерений,

1. Грубые ошибки (промахи), обусловленные неверными отсчетами, или неверными записями показаний приборов, грубой неточностью при настройке приборов, нарушением условий проведения опыта. На грубую ошибку отдельного измерения указывает резкое отличие его результата от предыдущих или последующих результатов. Результат измерения при грубой ошибке исключается.

2. Систематические погрешности, обусловленные причинами, одинаково действующими при всех измерениях, в частности, как результат неверных показаний приборов или неверного метода измерений, постоянного влияния внешнего фактора. Для устранения систематической погрешности используют методы измерений, основанные на сравнении величин, введении поправок в результаты измерений.

3. Случайные погрешности, обусловленные флюктуациями внешних и внутренних параметров при проведении измерений. Эти флюктуации случайны и заранее неизвестны. Случайные ошибки представляют собой ряд знакопеременных величин и присутствуют всегда при любых измерениях. Если при измерениях мы не обнаружили случайных ошибок, то это значит, что метод измерения недостаточно точен либо приборы недостаточно чувствительны.

Теория ошибок определяет наиболее вероятное значение измеряемой величины как ее среднеарифметическое значение при измерениях одинаковой точности.

Гаусс установил закон нормального распределения, по которому распределяются ошибки данного ряда измерений. При конечном числе измерений распределение дискретно. Ломаная линия на рис.1 соответствует этому закону. В этом случае говорят о вероятности появления ошибки данной величины, лежащей в пределах интервала.

Здесь y _i = x _i - x – случайная ошибка i -го измерения, x -истинное значение измеряемой величины, – вероятность появления ошибки данной величины, Δn – число случаев появления ошибки данной величины, n – общее число случаев (измерений).

Закон нормального распределения показывает, что наиболее вероятны ошибки, близкие к нулю. Ошибки, равные по величине, но противоположные по знаку, равновероятны.

Кривая на рис.1 соответствует предельному значению бесконечно большого числа измерений , где  – дисперсия измерений (см. ниже).

Наиболее вероятное значение измеряемой величины (модуль распределения) при нормальном распределении найдем как минимум суммы квадратов случайных ошибок:

(1)

т.е. наиболее вероятное значение измеряемой величины при измерениях одинаковой точности есть среднее арифметическое из всех результатов измерений:

(2)

при

Погрешностью отдельного измерения называется разность между значением, полученным в данном измерении и средним арифметическим: .

Среднее арифметическое из абсолютных значений ошибок отдельных измерений называется абсолютной ошибкой измерения:

. (3)

При большом числе измерений случайные ошибки равновероятны как в сторону превышения истинного значения величины, так и в сторону уменьшения, т.е. x заключено в интервале:

. (4)

С увеличением числа измерений n средняя абсолютная погрешность уменьшается, следовательно, измерения следует производить столько раз, чтобы сравнялась с погрешностью прибора.

Относительной погрешностью измерений называется отношение средней абсолютной ошибки к среднему значению измеряемой величины, выраженное в процентах:

%. (5)

Относительная погрешность характеризует точность измерений. Величина случайной ошибки оценивается с помощью стандартной ошибки:

. (6)

Статистический предел стандартной ошибки называется средней квадратичной ошибкой:

. (7)

Квадрат (7) называется дисперсией измерения.

Вероятность того, что результат i -го измерения x_i отличается от истинного значения x на величину, не большую, чем абсолютная ошибка , равна

(8)

где:

Величина α называется доверительной вероятностью, а интервал значений от x – Δx до x – Δx называется доверительным интервалом.

Для характеристики величины случайной ошибки необходимо задать величину самой ошибки Δx и величину доверительной вероятности α, что позволяет оценить степень надежности полученного результата.

Средней квадратичной ошибке Δx =  соответствует доверительная вероятность α = 0,68 , при Δx = 2 – α = 0,95, при Δx = 3 – α = 0,997.

Среднее арифметическое отклоняется от истинного значения измерения x .

Для оценки этого отклонения воспользуемся величиной, тогда значение ε равно:

(9)

откуда:

(10)

Но для конечного числа измерений n вместо генеральной () мы получаем выборочную дисперсию . При этом погрешность определения ошибки приводит к уменьшению надежности результата измерения тем сильнее, чем меньше число измерений n . Замена (9) на учитывается введением соответствующего коэффициента Стьюдента :

(11)

Коэффициенты Стьюдента вычисляются по законам теории вероятности для различных значений α и n . Используя , можем представить α в виде (см.(8)):

. (12)

Для заданной величины доверительной вероятности абсолютная ошибка может быть найдена с помощью стандартной ошибки и коэффициентов Стьюдента по формуле:

(13)

Коэффициенты для доверительной вероятности α = 0,95 приведены в таб.1. Таб.1.

n	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	9,00	1,76	0,92	0,63	0,47	0,37	0,32	0,27	2,24

Если измеряемая величина z является суммой величин, результаты измерений которых независимы, то ее выборочная дисперсия равна:

(14)

А абсолютная ошибка измерений в этом случае равна:

(15)

- графическое изображение результатов измерений.

В качестве примера рассмотреть измерение силы тока и напряжения. Класс прибора и точность измерения.

5