kursov_vectors

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

0,24 0,69 0,042 0,164 .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.04.2015

Размер:

432.53 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Аналогично, условным распределением компоненты Y при условии, что называется совокупность условных вероятностей

y			y	2	x		y	n x
P	1 x	,P				,...,P			,
		i			i				i

которые вычисляются по формулам

Y y j			y j					P X xi , Y y j pij
P			P														.
P			P					P X xi							pi		.
	X xi					xi		P X xi							pi
								Y yj			x					равны:
Согласно формулам (1.2), условные вероятности P										X	x					равны:
													1
Y y									0,2		1
P	1 X x			P Y 1 X 0										,
P	1 X x			P Y 1 X 0										,
			1		P Y		0 X 0		0,6		3
Y y		2 X x							0,1		1
P														,
P									0,6					,
			1		P Y		1 X 0		0,6		6
Y y		3 X x							0,3		1
P												.
P									0,6			.
			1						0,6		2

X xi , i const

(1.2)

Y y	j			определяются соотношениями:
Аналогично, условные вероятности P	j	X		определяются соотношениями:
		X	x2

Y y							0,1	1
P	1		P Y 1								,
							0,4	4
			X x2			X 1
Y y		2		P Y 0			0,2	1
P			X x2							,
							0,4	2
						X 1
Y y		3		P Y 1			0,1	1
P									.
							0,4
			X x2		X 1			4

По вычисленным условным вероятностям можно составить условные законы распределения случайной величины Y (табл. 3).

Таблица 4. Условные законы распределения случайной величины X .

Y			–1	0	1
Y y j			1	1	1
P						1
P			3	6	2	1
		X 0	3	6	2
Y y			1	1	1
P	j					1
P			4	2	4	1
		X 1	4	2	4

Вычислим условные вероятности				X x		i		для		i 1, 2 ,					j 1, 2, 3 по формулам
Вычислим условные вероятности				P		i		для		i 1, 2 ,					j 1, 2, 3 по формулам
						Y y j
(1.1).
X x									0,2		2
P	1			P X 0										,
P	1			P X 0					0,3		3			,
			Y y1			Y 1			0,3		3
X x		2			P X 1				0,1		1
P													.
P									0,3				.
			Y y1			Y 1			0,3		3
X x					P X 0				0,1		1
P		1					Y 0					,
P		1							0,3		3	,
			Y y2						0,3		3

X x					0,2	2
P	2		P X 1	Y 0			.

		Y y2			0,3	3

X	x			P X 0		0,3		3
P	1								,
						0,4		4
	Y		y3	Y	1
X x				P X 1			0,1		1
P		2
							0,4		4
			Y y3		Y 1

Условные законы распределения случайной величины X даны в таблице 4.

Таблица 5. Условные законы распределения случайной величины Y .

X			0	1
X xi			2	1
P					1
P			3	3	1
	Y 1		3	3
X xi			1	2
P					1
P			3	3	1
		Y 0	3	3
X xi			3	1
P					1
P			4	4	1
		Y 1	4	4

4. Условные законы распределения не совпадают с безусловными законами, поэтому случайные величины X и Y зависимы. Убедиться в том, что случайные величины X и Y связаны функциональной зависимостью, можно также сравнивая закон совместного распределения случайного вектора (табл.1) с маргинальными законами (табл. 2 и табл. 3).

P X 0, Y 1 p11 0,2 ,

P X 0 p1 0,6 , P Y 1 q1 0,3 .

Следовательно, P X 0, Y 1 p11 P X 0 P Y 1 p1 q1 0,6 0,3 0,18 .

5. По маргинальным законам распределения случайных величин X и Y (табл. 2 и 3) найдем их математические ожидания, дисперсии и средние квадратичные отклонения, а также числовые характеристики совместного распределения, т.е. корреляционный момент и коэффициент корреляции.

а) Математические ожидания:

M X xi pi 0 0,6 1 0,4 0,4 .

i 1

M Y yj qj 1 0,3 0 0,3 1 0,4 0,1.

j 1

Математическим ожиданием случайного вектора является вектор

M X ; M Y 0,4; 0,1 .

б) Дисперсии:

D X xi2 pi M X 2 0 0,6 1 0,4 0,16 0,24 .

i 1

D Y y2j qj M Y 2 1 0,3 0 0,3 1 0,4 0,01 0,69 .

j 1

в) Средние квадратичные отклонения:

X D X 0,24 , Y D Y 0,69 .

г) Корреляционный момент (ковариация) и корреляционная матрица (матрица ковариаций).

Чтобы найти корреляционный момент (ковариацию) случайного вектора, необходимо вычислить математическое ожидание случайной величины XY :

m n

M XY xi yj pij 0 1 0,2 0 0 0,1 0 1 0,3 1 1 0,1 1 0 0,2 1 1 0,1 0 .

i 1 j 1

Тогда ковариация KXY , вычисленная по формуле KXY M XY M X M Y , равна:

KXY KYX 0 0,4 0,1 0,04 .

Корреляционная матрица (матрица ковариаций) имеет вид:

D X			K		0,24		0,04
	K			XY		0,04	0,69	.
	K	YX	D Y			0,04	0,69
		YX

Определитель матрицы ковариаций – обобщенная дисперсия случайного вектора:

д) Коэффициент корреляции.

Коэффициент корреляции между случайными величинами X и Y определяется формулой:

rXY	KXY		0,04		2	.
	X	Y
			0,24 0,69		26
				3

6. Функции и линии регрессии.

Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины X при Y y

называется сумма произведений возможных значений случайной величины X на соответствующие условные вероятности, т.е.

М X

Условное математическое

Y y

i 1

ожидание

xi	X xi
	P	Y	.
			y
случайной		величины

(1.3)

X , при Y y , т.е.

				y , является функцией переменной y и называется функцией регрессии или
М X	m		X
	Y y		X
регрессией случайной величины X на Y .
Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Y									при X x
называется сумма произведений возможных значений случайной величины Y										на
соответствующие условные вероятности, т.е.
					n	Y y j		(1.4)
						Y y j
				М Y X x y j P			X x .
					j 1
Условное		математическое			ожидание	случайной	величины	Y , при	X x ,	т.е.
М Y X x mY x , функцией переменной x						и называется функцией регрессии или регрессией
случайной величины Y на X .
Найдем регрессию mY x					случайной величины Y		на X , используя условные законы

распределения случайной величины Y (табл. 4) и формулу (1.3):


при X 0 , m	x		m	0 1		1	0	1		1	1			1	,

Y	1		Y		3			6			2		6

при X 1, m	x	2	m	1 1		1	0		1	1		1	0 .

Y			Y		4			2			4
																xi ; mY xi и
Линии регрессии			принято		строить				ломаными, соединяющими точки
y j ; mX y j , хотя по сути – это набор таких точек. Линией регрессии Y на X																будет отрезок
прямой, проходящей через точки					0; 1 и				1; 0			на плоскости с введенной системой координат
					6

x, mY x . Эта линия регрессии показана на рисунке 2 a.

Рис. 2 a. Линия регрессии Y на X .

	mX y
	1	2
		3
	1	y
	3	y
	3
	1	1
	Рис. 2 b. Линия регрессии X на Y .

При определении регрессии									mX y						случайной величины X на Y , используем условные
законы распределения случайной величины X (табл. 5) и формулу (1.4):
при Y 1	. m	X	y		m	X		1 0					2		1			1					1	,
при Y 1	. m		y		m			1 0							1									,
			1						3						3				3
									3						3				3
при Y 0 ,	mX y2			mX			0 0			1		1				2				2	.
при Y 0 ,	mX y2			mX			0 0					1									.
									3						3				3
при Y 1,	mX y3			mX				1 0			3			1			1					1			.
при Y 1,	mX y3			mX				1 0						1											.
									4						4				4							1;		,	0;		и	1;
Линией регрессии				X на Y					будет ломаная, проходящая через точки																	1;	1	,	0;	2	и	1;	1
																											3			3			4

на плоскости с введенной системой координат y, mX y . Эта линия регрессии показана на рисунке 2. b.

Задача №1

Постановка задачи

Задана плотность совместного распределения случайных величин X и Y

0,	x, y D
f x, y C,	x, y D	,

где область D :

D x, y : 1 x 1, x 1 y x 1 .

Найти:

параметр C ;

плотности распределения компонент случайного вектора X и Y ;

функции распределения компонент случайного вектора X и Y ;

условные плотности f xY y и f y X x ;

выяснить, являются ли независимыми компоненты случайного вектора X и Y ;

числовые характеристики случайного вектора: математические ожидания и дисперсии случайных величин X и Y , корреляционный момент и коэффициент корреляции, корреляционную матрицу и обобщенную дисперсию;

функции регрессии (условные математические ожидания) Y на X и X на Y , построить линии регрессии.

Решение

D показана на рисунке 3. Из свойств плотности распределения следует, что

1. Область

, где S D - площадь области D . поскольку S D 2 2 4 .

S D

Рис. 3.

Тогда для плотности совместного распределения справедливы соотношения:

		0,	x, y D
f x, y	1	,	x, y D .

4

2.Плотности распределения компонент (маргинальные или частные плотности) случайного вектора найдем, используя формулы

			f X x
			f X x												f x, y dy ,																	(2.1)

			fY y
			fY y												f x, y dx .																	(2.2)
а) При x 1;1
а) При x 1;1	f X x 0 , т.к. при этом условии																												f x, y 0 .
При x 1; 1
				x 1																					x 1
				x 1
f X x f x, y dy								1				dy									1		y					1			x 1 x 1					1			.
								1													1							1								1
								4													4				x 1			4								2
				x 1																					x 1
				x 1
Следовательно, случайная величина X распределена равномерно на отрезке 1; 1 , т.е.
											1			,				x 1;1									.					(2.3)
														,				x 1;1
			f X x								2						x 1;1
											0,						x 1;1
б) При y 2; 2	fY y 0 , т.к. при этом условии f x, y 0.
При y 2; 0
				y 1																				y 1
				y 1
fY y f x, y dx							1			dx								1				x					1			y 1 1			1	y				1
							1											1									1						1					1		.
							4											4									4						4					2		.
				1																				1
При y 0; 2				1
При y 0; 2
				1																			1
				1
fY y f x, y dx						1			dx							1				x						1			1 y 1			1			1		y .
						1										1										1						1			1
						4										4										4						2			4
				y 1																			y 1
				y 1
Следовательно, плотность распределения компоненты Y имеет вид:
											0,												y 2
			y		1				y						1		, 2 y 0
	f								y						2		, 2 y 0															(2.4)
	f	Y		4				1							2		1										.					(2.4)
		Y						1					y				1					, 0 y 2

									4										2
											0,													y 2

Графики функций f X x и fY y показаны на рисунке 4.

fX x

fY y

Рис. 4.

3.Функции распределения случайных величин X и Y определяются по известным плотностям формулами

							FX x								x																y
							FX x								f X t dt ,												FY y f X t dt .										(2.5)

По этим формулам, учитывая вычисленные плотности																														f X x			и fY y				(см. (2.3) и (2.4)),
получим:
													0,			x 1											0,			x 2
								x																			0,			x 2
								x						dt, 1 x 1=											1	x 1 , 1 x 1 ,
			FX		x							1													1
												1
												2
												2													2
										1																	1,			x 2
										1																	1,			x 2
													1,			x 1
													1,			x 1
					0,									y 2																0,					y 2
				y	0,									y 2																				y
				y																											1
							1	t	1		dt, 2					y 0											81 t2				1	t			, 2 y 0
							1		1																						2
																															2
					4				2																								2
FY y	0		2						y				1			1											=									y	=
FY y	0	1		1					y																		=									y	=
		1		1		dt											dt, 0 y 2																		t
		4	t	2									4		t	2												1	81 t2					1		, 0 y 2
		4	t	2									4		t	2												2	81 t2					2		, 0 y 2
2					0										y 2																					0
					1,										y 2															1,					y 2
																														1,					y 2
																0,					y 2
												1			y2			1	y		1		, 2				y 0
												1			y2			2	y		2		, 2				y 0
												8			1	2		2	1		2	1								.
															1	2			1			1
															8 y					y				, 0 y						2
															8 y				2	y			2	, 0 y						2
																		1,				y 2

Графики функций распределения FX x																			и FY y показаны на рис. 5.
	F x																													FY y
	X

Рис. 5.

4. Условные плотности распределения

f x Y y и

f y

X x определяются из

соотношений:

fY y 0

f x Y y f x, y

fY y 0

(2.6)

fY y

f X x 0

f y

X x f x, y

f X x 0

(2.7)

f X x

		0,				y 2				0,			y 2
		1
		4			, 2 y 0					1	, 2 y 0
	1	y		1

f x Y y 4		1		2					y 2					(2.8)
										1		, 0 y 2
		4				, 0 y 2

									y 2
		1	y		1
					2					0,			y 2
		4				y 2
		0,

		f y					1	,	x 1; 1				.	(2.9)

					X x 2				x 1; 1
						0,								f x Y y и f y	X x
5. В рассмотренном примере условные плотности распределения
(2.6) и (2.7) не совпадают с безусловными плотностями f X x														и fY y (2.8.) и (2.9). Это
имеет место тогда и только тогда, когда случайные величины X и Y зависимы.
6. Числовые характеристики случайного вектора.
а) математическое ожидание;											f X x и			fY x компонент
По вычисленным плотностям распределения															вектора

вычислим математическое ожидание, определив математические ожидания его компонент по формулам:

					M X														M Y
					M X		x f X x dx ,												M Y						y fY y dy .								(2.10)

									M X				1	1						1		x2		1 0 ,
														1
															x dx
													2		x dx
													2		1				2				2	1
									0						1				2
									0		1					1			2					1				1
						M Y y					1	y				1	dy y							1		y		1	dy
						M Y y					4	y				2	dy y							4		y		2	dy
										2									0
0			2		2			2							y3			y	2		0						y3			y2	2	8		8
0					2										y3			y	2		0						y3			y2	2	8		8
	1			1		1			1
4		y		2	y dy	4	y		2 y dy																		12					12	1	12	1 0 .
2					0									12 4							2						12			4	0	12		12
2					0									12 4							2									4	0

Следовательно, математическим ожиданием случайного вектора является нулевой числовой

вектор 0; 0 .
б) Корреляционный момент (ковариация) KXY вычисляется по формуле
		K XY M XY M X M Y ,										(2.11)
где M XY – математическое ожидание случайной величины XY .
Поскольку M X M Y 0 , то вычислив
			1	1		1		x 1	1			1					y		2	x 1
						1		x 1				1							2	x 1
M XY		xyf x, y dxdy
				xydxdy			xdx ydy							xdx
			4	xydxdy	4		xdx ydy			4				xdx			2			x 1
				D		1		x 1					1							x 1
	1	1				1		1	1 x		3				1	1
		1						1			3				1
		x x2 2x 1 x2 2x 1 dx						x2dx										,
		x x2 2x 1 x2 2x 1 dx						x2dx										,
4		1				2		1	2 3						1 3

найдем по формуле (2.11) ковариацию случайных величин Х и Y .

K XY M XY M X M Y 1 .

в) Корреляционной матрицей (матрицей ковариаций) случайных величин Х и Y

называется симметричная квадратная матрица второго порядка, на главной диагонали которой

расположены дисперсии случайных величин			Х		и Y , а на побочной диагонали –
корреляционные моменты, т.е.
D X			K	XY
	K			XY	.
	K	YX	D Y
		YX

Определитель матрицы величин Х и Y , т.е.

D X

KYX

ковариаций называется обобщенной дисперсией случайных

K XY	2 2	2	– обобщенная дисперсия.
D Y	X Y	K XY	– обобщенная дисперсия.
D Y

Поскольку ковариация случайных величин																						Х						и			Y K XY									1	, то,						вычислив дисперсии
Поскольку ковариация случайных величин																						Х						и			Y K XY										, то,						вычислив дисперсии
случайных величин Х и Y ,																																					3
случайных величин Х и Y ,
																			2							1											3									1
																			2							1											3									1
	D X x2 fX x dx M X																									1		x2 dx 0										1					x			1			13 ,
	D X x2 fX x dx M X																									2		x2 dx 0										2					3			1			13 ,
																			0									1								2
																			0																	2
D Y y2 fY y dy M Y 2 y2																							1		y					1			dy y2									1		y			1	dy 0
D Y y2 fY y dy M Y 2 y2																							4		y					2			dy y2									4		y			2	dy 0
																			2																	0
						0			1						1				2					1										1
									1	y3					1	y2 dy								1	y3									1	y2	dy 0
									4	y3					2	y2 dy								4	y3									2	y2	dy 0
							2												0
						y		4				y3				0					y4					y3						2					8								8 2
						y		4				y3				0					y4					y3						2					8								8 2
																																		1					1											,
																																		1					1											,
																			16																		6								6 3
						16							6			2			16							6						0					6								6 3
						16							6			2										6						0
составим матрицу				ковариаций										1			1																			которой										является обобщенная
составим матрицу				ковариаций										3			3 , определителем																			которой										является обобщенная
														1			2
														3			3
дисперсия, т.е.			1		2		1	1			1			.
			1		2		1	1			1

		3		3		3		3				9
		3		3		3		3				9
г) Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:
																rXY					KXY						,										(2.12)
																rXY				X							,										(2.12)
																				X		Y
где X и y - средние квадратичные отклонения случайных величин Х и Y .
										1																											1												1
																												2																							.
Поскольку X														, Y															, то rXY												3
					D X													D Y																							3
					D X													D Y
								3																		3											1								2				2

																																					3								3
																																					3								3

7.Функции регрессии (условные математические ожидания) строятся по найденным условным плотностям распределения (2.8) и (2.9) по формулам:

mX y M X Y y
mX y M X Y y		x f x Y y dx – функция регрессии X на Y ;


mY x M Y	X x	y f y	X x dy – функция регрессии Y на X .

Поэтому регрессия X на Y определяется соотношениями: при y 2 , mX y 0 ;

при 2 y 0 ,

mX y x f x Y y dx y 1 x

y 1

y 1 2 1

y2 2y

y 2 2

2 y 2

y 2

при 0 y 2 ,

1 x

mX y x f x Y y dx x

1 y 1

2 y 2

2 2 y

y 1 2 y

y 1

при y 2 , mX y 0 .

Следовательно,

y 2,

mX y

, 2 y 2,

0. y 2.

Линия регрессии X на Y : x mX y

или x

при 2 y 2 .

Определим регрессию Y на X : при x 1 , mY x 0 ;

при 1 x 1 ,

mY x y f y

при x 1 , mY x 0 . Следовательно,

X x dy	x 1	1		1		y2	x 1	x 1 2 x 1 2
			ydy						x ;
		2		2	2			4
	x 1						x 1

			0,		x 1,
m	x	x,		1 x 1,
Y
			0.		x 1.
			0.		x 1.

Линия регрессии Y на X : y mY x или y x ,

при 1 x 1 . Линии регрессии

показаны на рис. жирными линиями. Поскольку линии регрессии являются прямыми, то регрессия линейная.

Из вида линий регрессии понятно, что случайные величины Х и Y не являются независимыми, поскольку линиями регрессии независимых случайных величин являются

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2019134.61 Кб3Kursovik_Ekonomika.docx
#
12.11.2019144.38 Кб2KURSOVIK_orig (2).doc
#
10.09.201965.54 Кб0Kursovik_strateg_m (1).doc
#
21.11.2019971.78 Кб1Kursovik_Ulkin.doc
#
04.12.2018190.98 Кб1Kursovoe_proektirovanie_text_2_redaktsia.doc
#
02.04.2015432.53 Кб30kursov_vectors.pdf
#
02.04.20151.44 Mб10Kurs_proektTekhnol_sist_otrasli_metodichka.doc
#
02.04.201568.04 Кб11k_r_-_115.docx
#
25.11.2019674.71 Кб1K_R_mezhdunarodnye_perevozki переделан.docx
#
25.11.2019303.18 Кб3K_R_mezhdunarodnye_perevozki.docx
#
18.09.201980.38 Кб0LAB1.DOC