Вариант 014

Вариант 1

ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ

Исследуемая автоматическая система регулирования режимом работы одного из тепловых объектов задана в виде структурной схемы, передаточных функций звеньев, входящих в систему, а также цифровых данных, характеризующих параметры каждого звена.

Необходимо составить передаточную функцию автоматической системы регулирования: исследовать систему на устойчивость с помощью критерия Михайлова; пользуясь методом частотных характеристик, рассчитать и построить кривую переходного процесса замкнутой системы регулирования при единичном ступенчатом входном воздействии; сделать выводы о качестве процесса регулирования системы.

х_вх.f(x)x_вых.

W₁(p)

W₂(p)

W₃(p)

W₄(p)

(-)

W₁(p)= ; W₂(p)= K₂; W₃ = ;W₄(p) = .

К₁ = 2,5; К₂ = 4,0; К₃ = 5,0; К₄ = 1,0;

Т₁ = 15,0 с; Т₂ = 10,0 с; Т₃ = 30,0 с; Т₄ = 40,0 с;

τ = 20,0с.

1. В структурной схеме АСР обрабатываем внутренние связи и определяем передаточные функции эквивалентных связей.

1.1 Встречно-параллельное соединение или соединение с обратной связью (звенья с передаточными функциями W₂(p) и W₄(p) ).

х_вх. х_вых.

W₂(p)

W₄(p)

В этом случае на вход звена одновременно с входной величиной через звено обратной связи W₄ (p) подается его выходная величина.

W_2,4(p) = = =

Подставим числовые значения:

W_2,4(p) = =

2. Последовательное соединение звеньев (звенья с передаточными функциями W₁(p), W_2.4(p), W₃(p)):

W_экв. = W₁(p) _* W_2.4(p) _* W₃(p) = * *

Подставим числовые значения:

W_экв. = = =

2. Находим передаточную функцию разомкнутой АСР:

W_р(p) = W_экв.(р) =

3. Находим передаточную функцию замкнутой АСР:

W_р(p) = = =

.

4. Определим устойчивость АСР по критерию Михайлова.

Передаточная функция замкнутой АСР имеет вид:

Запишем характеристическое уравнение

Произведем замену в характеристическом уравнении оператора (р) комплексным числом (jω):

W(jω) = 360(jω)³ - 3(jω)² + 38,2(jω) + 1

-360jω³+3ω²+38,2 jω+1=0

Выделим из этого выражения мнимую и вещественную части:

вещественная часть U(ω) = 1+ 3ω²;

мнимая часть V(ω) =38,2jω-360jω³= j(38,2 ω-360 ω³)

Определяем значения мнимой и вещественной частей выражения при различных значениях ω (от 0до ∞).

Данные расчетов занесем в таблицу 1.

Таблица 1.

ω	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
U(ω)	1	1,03	1,12	1,27	1,48	1,75
V(ω)	0	3,46	4,76	1,74	-7,76	-25,9

U(ω):V(ω):

1+ 3ω² = 1+3*0² =1; 38,2 ω-360 ω³=38,2*0- 360*0³=0;

1+ 3ω² = 1+3*0,1² =1,03; 38,2 ω-360 ω³=38,2*0,1-360*0,1³=3,46;

1+ 3ω² = 1+3*0,2² = 1,12; 38,2 ω-360 ω³=38,2*0,2-360*0,2³=4,76;

1+ 3ω² = 1+3*0,3² = 1,27; 38,2 ω-360 ω³=38,2*0,3-360*0,3³=1,74;

1+ 3ω² = 1+3*0,4² = 1,48; 38,2 ω-360 ω³=38,2*0,4-360*0,4³= -7,76

1+ 3ω²= 1+3*0,5² = 1,75; 38,2 ω-360 ω³=38,2*0,5-360*0,5³= -25,9

На основании результатов таблицы 1 строим годограф Михайлова (график 1).

Данная система не устойчива, т.к. годограф направлен по часовой стрелке. АСР будет устойчива, если годограф вектора W(jω) в плоскости комплексного переменного при изменении ω от до обходит последовательно против часовой стрелки n- число квадрантов и не обращается в ноль.

5. Строим кривую переходного процесса замкнутой АСР методом трапецеидальных характеристик.

5.1 В передаточной функции замкнутой АСР заменим оператора р на

jω, получимАФХW(jω), знаменатель АФХ приводим к виду а+jb.

W(jω)= =

2. Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное комплексное число вида а- jb.

W(jω) = =

==

=

2. Сгруппируем вещественные и мнимые члены АФХ так, чтобы W(jω)=U(ω)+jV(ω):

W(jω)=+

2. Выписываем вещественную часть U(ω)=f(ω) и строим график этой зависимости:

U(ω)=

Таблица 2.

ω	0	0,05	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6
U(ω)	1	1,0346	1,0321	0,8537	0,1909	-0,296	-0,3367	-0,2741

ω	0,7	0,8	0,9	1	1,5	2	2,5	3
U(ω)	-0,2137	-0,1679	-0,1344	-0,1097	-0,0493	-0,0278	-0,0178	-0,0123

График 2.

5.5 Разбиваем площадь, заключенную между осями координат и вещественной характеристикой на трапеции таким образом, чтобы суммарная площадь трапеций была равна площади, описываемой вещественной характеристикой (Рис. 1)

Рис. 2

Рис.1

5.6 В том же масштабе строим трапеции так, чтобы плюсовые площади их располагались выше абсцисс, а минусовые – ниже (рис. 2)

5.7 Составим таблицу характерных параметров трапеций с учетом знака ординат (для треугольника æ=0)

Таблица 3

№ трапеции	Ι	ΙΙ	ΙΙΙ	ΙV
Ui(0)	-0,04	1,37	-0,12	-0,21
ωid(0)	0	0,2	1	0,5
ωi0(0)	0,04	0,5	3	1
æ=ωd/ω0	0	0,4	0,33	0,5

Выполним проверку условия: U(0)=∑Uⁱ(0)

U(0)= 1,37 - 0,04 - 0,12 - 0,21=1

5.8 Для каждой трапеции составляем таблицу:

Таблица 4

UІ(0)= -0,04; æІ=0; ωІ0=0,04
t	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
h(t)	0	0,31	0,571	0,755	0,856	0,895	0,903	0,904	0,911	0,925	0,939	0,947
τ	0	25	50	75	100	125	150	175	200	225	250	275
h(τ)	0	-0,01	-0,023	-0,03	-0,034	-0,0358	-0,0361	-0,0362	-0,0364	-0,037	-0,0376	-0,038
UІІ(0)= 1,37; æІІ=0,4; ωІІ0=0,5
t	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
h(t)	0	0,432	0,785	1,013	1,11	1,112	1,068	1,023	0,998	0,992	0,994	0,993
τ	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22
h(τ)	0	0,592	1,075	1,388	1,5207	1,5234	1,4632	1,4015	1,3673	1,359	1,3618	1,3604
UІІІ(0)= -0,12; æІІІ=0,33; ωІІІ0=3,0
t	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
h(t)	0	0,417	0,761	0,986	1,09	1,102	1,079	1,033	1,011	1,006	1,005	1,002
τ	0	0,333	0,667	1	1,3333	1,6667	2	2,3333	2,6667	3	3,3333	3,6667
h(τ)	0	0,571	1,043	1,351	1,4933	1,5097	1,4782	1,4152	1,3851	1,3782	1,3769	1,3727
UІV(0)= -0,21; æІV=0,5; ωІV0=1,0
t	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
h(t)	0	0,461	0,831	1,061	1,141	1,117	1,051	0,992	0,966	0,968	0,982	0,993
τ	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
h(τ)	0	-0,1	-0,175	-0,22	-0,24	-0,2346	-0,2207	-0,2083	-0,2029	-0,203	-0,2062	-0,2085

5.9 Строим переходный процесс хⁱ_вых. =f(τ) для каждой трапеции, используя ее вычисленные данные τ и h(τ); здесь х_вых.(τ)= h(τ); переходные процессы всех трапеций строим в одном графике с учетом знака U_i(0). (График 3)

5.10 Строим переходный процесс хвых = f(τ) замкнутой АСР; для этого неибходимо просуммировать для каждого момента времени τ cоответствующие ординаты трапеций хⁱвых (τ); построение произведено на графике 3.

6.0 По кривой переходного процесса определяем основные параметры качества регулирования:

- время регулирования τ_рег. = 115 с.;

- максимальное динамическое отклонение ∆Х^max_вых.= 2,76;

- перерегулирование η= 0;

- колебательность = 0.